Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17042 / 17302
↖ ↑ ↗
← S 10.033767°
E  7.229004°		 ← 1 202.95 m → S 10.033767°
E  7.239990°		 →
↑
1 202.91 m
↓
↑
1 202.91 m
↓
S 10.044585°
E  7.229004°		 ← 1 202.91 m →
1 447 020 m²		 S 10.044585°
E  7.239990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520095825195312 y=0.528030395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520095825195312 × 215)
    floor (0.520095825195312 × 32768)
    floor (17042.5)     		tx = 17042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528030395507812 × 215)
    floor (0.528030395507812 × 32768)
    floor (17302.5)     		ty = 17302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17042 / 17302 ti = "15/17042/17302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17042/17302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17042 ÷ 215
    17042 ÷ 32768     		x = 0.52008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17302 ÷ 215
    17302 ÷ 32768     		y = 0.52801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52008056640625 × 2 - 1) × π
    0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.0560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.176024295404846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12616992} λ = 0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176024295404846))-π/2
    2×atan(0.83859760902116)-π/2
    2×0.697837029269808-π/2
    1.39567405853962-1.57079632675     		φ = -0.17512227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17512227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.033767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17042 KachelY 17302 0.12616992 -0.17512227 7.229004 -10.033767
    Oben rechts KachelX + 1 17043 KachelY 17302 0.12636167 -0.17512227 7.239990 -10.033767
    Unten links KachelX 17042 KachelY + 1 17303 0.12616992 -0.17531108 7.229004 -10.044585
    Unten rechts KachelX + 1 17043 KachelY + 1 17303 0.12636167 -0.17531108 7.239990 -10.044585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17512227--0.17531108) × R
    0.000188810000000011 × 6371000     		dl = 1202.90851000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17512227--0.17531108) × R
    0.000188810000000011 × 6371000     		dr = 1202.90851000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12616992-0.12636167) × cos(-0.17512227) × R
    0.000191750000000018 × 0.984705243342195 × 6371000     		do = 1202.95457494774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12616992-0.12636167) × cos(-0.17531108) × R
    0.000191750000000018 × 0.984672329699994 × 6371000     		du = 1202.91436635057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17512227)-sin(-0.17531108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984705243342195-0.984672329699994)×R²
    abs(0.12636167-0.12616992)×3.29136422013709e-05×R²
    0.000191750000000018×3.29136422013709e-05×6371000²
    0.000191750000000018×3.29136422013709e-05×40589641000000     		ar = 1447020.11601509m²