Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17042 / 12988
↖ ↑ ↗
← N 80.790554°
W133.192749°		 ← 48.88 m → N 80.790554°
W133.190002°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.790114°
W133.192749°		 ← 48.88 m →
2 389 m²		 N 80.790114°
W133.190002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130023956298828 y=0.0990943908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130023956298828 × 217)
    floor (0.130023956298828 × 131072)
    floor (17042.5)     		tx = 17042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990943908691406 × 217)
    floor (0.0990943908691406 × 131072)
    floor (12988.5)     		ty = 12988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17042 / 12988 ti = "17/17042/12988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17042/12988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17042 ÷ 217
    17042 ÷ 131072     		x = 0.130020141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12988 ÷ 217
    12988 ÷ 131072     		y = 0.099090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130020141601562 × 2 - 1) × π
    -0.739959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32465201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099090576171875 × 2 - 1) × π
    0.80181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51898820123471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32465201} λ = -2.32465201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51898820123471))-π/2
    2×atan(12.4160277844795)-π/2
    2×1.49042874812029-π/2
    2.98085749624058-1.57079632675     		φ = 1.41006117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32465201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.192749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41006117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.790554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17042 KachelY 12988 -2.32465201 1.41006117 -133.192749 80.790554
    Oben rechts KachelX + 1 17043 KachelY 12988 -2.32460407 1.41006117 -133.190002 80.790554
    Unten links KachelX 17042 KachelY + 1 12989 -2.32465201 1.41005350 -133.192749 80.790114
    Unten rechts KachelX + 1 17043 KachelY + 1 12989 -2.32460407 1.41005350 -133.190002 80.790114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41006117-1.41005350) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41006117-1.41005350) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32465201--2.32460407) × cos(1.41006117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160043930342153 × 6371000     		do = 48.8815358572285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32465201--2.32460407) × cos(1.41005350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160051501470323 × 6371000     		du = 48.8838482746524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41006117)-sin(1.41005350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160043930342153-0.160051501470323)×R²
    abs(-2.32460407--2.32465201)×7.57112816970884e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57112816970884e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57112816970884e-06×40589641000000     		ar = 2388.68061088995m²