Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17040 / 5008
↖ ↑ ↗
← N 82.009169°
W 86.396484°		 ← 84.91 m → N 82.009169°
W 86.390991°		 →
↑
84.93 m
↓
↑
84.93 m
↓
N 82.008405°
W 86.396484°		 ← 84.92 m →
7 211 m²		 N 82.008405°
W 86.390991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260017395019531 y=0.0764236450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260017395019531 × 216)
    floor (0.260017395019531 × 65536)
    floor (17040.5)     		tx = 17040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0764236450195312 × 216)
    floor (0.0764236450195312 × 65536)
    floor (5008.5)     		ty = 5008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17040 / 5008 ti = "16/17040/5008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17040/5008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17040 ÷ 216
    17040 ÷ 65536     		x = 0.260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5008 ÷ 216
    5008 ÷ 65536     		y = 0.076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260009765625 × 2 - 1) × π
    -0.47998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.50790311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.076416015625 × 2 - 1) × π
    0.84716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.66145666690552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50790311} λ = -1.50790311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66145666690552))-π/2
    2×atan(14.3171292047408)-π/2
    2×1.50106317318736-π/2
    3.00212634637473-1.57079632675     		φ = 1.43133002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50790311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.396484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43133002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.009169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17040 KachelY 5008 -1.50790311 1.43133002 -86.396484 82.009169
    Oben rechts KachelX + 1 17041 KachelY 5008 -1.50780724 1.43133002 -86.390991 82.009169
    Unten links KachelX 17040 KachelY + 1 5009 -1.50790311 1.43131669 -86.396484 82.008405
    Unten rechts KachelX + 1 17041 KachelY + 1 5009 -1.50780724 1.43131669 -86.390991 82.008405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43133002-1.43131669) × R
    1.33300000000336e-05 × 6371000     		dl = 84.925430000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43133002-1.43131669) × R
    1.33300000000336e-05 × 6371000     		dr = 84.925430000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50790311--1.50780724) × cos(1.43133002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.139014623247637 × 6371000     		do = 84.9084317308126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50790311--1.50780724) × cos(1.43131669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.139027823805364 × 6371000     		du = 84.9164944700291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43133002)-sin(1.43131669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.139014623247637-0.139027823805364)×R²
    abs(-1.50780724--1.50790311)×1.32005577265226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.32005577265226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.32005577265226e-05×40589641000000     		ar = 7211.22744144555m²