Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17040 / 15792
↖ ↑ ↗
← N 79.472592°
W133.198242°		 ← 55.79 m → N 79.472592°
W133.195496°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
N 79.472090°
W133.198242°		 ← 55.79 m →
3 114 m²		 N 79.472090°
W133.195496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130008697509766 y=0.120487213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130008697509766 × 217)
    floor (0.130008697509766 × 131072)
    floor (17040.5)     		tx = 17040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120487213134766 × 217)
    floor (0.120487213134766 × 131072)
    floor (15792.5)     		ty = 15792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17040 / 15792 ti = "17/17040/15792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17040/15792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17040 ÷ 217
    17040 ÷ 131072     		x = 0.1300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15792 ÷ 217
    15792 ÷ 131072     		y = 0.1204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32474788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1204833984375 × 2 - 1) × π
    0.759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38457313470007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32474788} λ = -2.32474788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38457313470007))-π/2
    2×atan(10.8544282970749)-π/2
    2×1.47892735994158-π/2
    2.95785471988317-1.57079632675     		φ = 1.38705839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32474788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38705839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.472592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17040 KachelY 15792 -2.32474788 1.38705839 -133.198242 79.472592
    Oben rechts KachelX + 1 17041 KachelY 15792 -2.32469995 1.38705839 -133.195496 79.472592
    Unten links KachelX 17040 KachelY + 1 15793 -2.32474788 1.38704963 -133.198242 79.472090
    Unten rechts KachelX + 1 17041 KachelY + 1 15793 -2.32469995 1.38704963 -133.195496 79.472090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38705839-1.38704963) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dl = 55.8099600003317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38705839-1.38704963) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dr = 55.8099600003317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32474788--2.32469995) × cos(1.38705839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182705859687153 × 6371000     		do = 55.7914322069984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32474788--2.32469995) × cos(1.38704963) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182714472228493 × 6371000     		du = 55.7940621501055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38705839)-sin(1.38704963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182705859687153-0.182714472228493)×R²
    abs(-2.32469995--2.32474788)×8.61254134013056e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.61254134013056e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.61254134013056e-06×40589641000000     		ar = 3113.79098856605m²