Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17039 / 17335
↖ ↑ ↗
← S 10.390572°
E  7.196045°		 ← 1 201.54 m → S 10.390572°
E  7.207031°		 →
↑
1 201.57 m
↓
↑
1 201.57 m
↓
S 10.401378°
E  7.196045°		 ← 1 201.50 m →
1 443 714 m²		 S 10.401378°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520004272460938 y=0.529037475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520004272460938 × 215)
    floor (0.520004272460938 × 32768)
    floor (17039.5)     		tx = 17039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529037475585938 × 215)
    floor (0.529037475585938 × 32768)
    floor (17335.5)     		ty = 17335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17039 / 17335 ti = "15/17039/17335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17039/17335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17039 ÷ 215
    17039 ÷ 32768     		x = 0.519989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17335 ÷ 215
    17335 ÷ 32768     		y = 0.529022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519989013671875 × 2 - 1) × π
    0.03997802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12559468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.05804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.182351966154694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12559468} λ = 0.12559468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182351966154694))-π/2
    2×atan(0.833307992584684)-π/2
    2×0.694723320814396-π/2
    1.38944664162879-1.57079632675     		φ = -0.18134969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12559468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.196045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18134969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.390572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17039 KachelY 17335 0.12559468 -0.18134969 7.196045 -10.390572
    Oben rechts KachelX + 1 17040 KachelY 17335 0.12578642 -0.18134969 7.207031 -10.390572
    Unten links KachelX 17039 KachelY + 1 17336 0.12559468 -0.18153829 7.196045 -10.401378
    Unten rechts KachelX + 1 17040 KachelY + 1 17336 0.12578642 -0.18153829 7.207031 -10.401378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18134969--0.18153829) × R
    0.000188599999999983 × 6371000     		dl = 1201.57059999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18134969--0.18153829) × R
    0.000188599999999983 × 6371000     		dr = 1201.57059999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12559468-0.12578642) × cos(-0.18134969) × R
    0.000191740000000024 × 0.983601162320789 × 6371000     		do = 1201.54312100679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12559468-0.12578642) × cos(-0.18153829) × R
    0.000191740000000024 × 0.983567129442025 × 6371000     		du = 1201.50154727454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18134969)-sin(-0.18153829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983601162320789-0.983567129442025)×R²
    abs(0.12578642-0.12559468)×3.40328787643562e-05×R²
    0.000191740000000024×3.40328787643562e-05×6371000²
    0.000191740000000024×3.40328787643562e-05×40589641000000     		ar = 1443713.91622624m²