Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17038 / 17334
↖ ↑ ↗
← S 10.379765°
E  7.185059°		 ← 1 201.65 m → S 10.379765°
E  7.196045°		 →
↑
1 201.63 m
↓
↑
1 201.63 m
↓
S 10.390572°
E  7.185059°		 ← 1 201.61 m →
1 443 916 m²		 S 10.390572°
E  7.196045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519973754882812 y=0.529006958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519973754882812 × 215)
    floor (0.519973754882812 × 32768)
    floor (17038.5)     		tx = 17038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529006958007812 × 215)
    floor (0.529006958007812 × 32768)
    floor (17334.5)     		ty = 17334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17038 / 17334 ti = "15/17038/17334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17038/17334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17038 ÷ 215
    17038 ÷ 32768     		x = 0.51995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17334 ÷ 215
    17334 ÷ 32768     		y = 0.52899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51995849609375 × 2 - 1) × π
    0.0399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12540293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.182160218556213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12540293} λ = 0.12540293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182160218556213))-π/2
    2×atan(0.833467792711212)-π/2
    2×0.694817624024928-π/2
    1.38963524804986-1.57079632675     		φ = -0.18116108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12540293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18116108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.379765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17038 KachelY 17334 0.12540293 -0.18116108 7.185059 -10.379765
    Oben rechts KachelX + 1 17039 KachelY 17334 0.12559468 -0.18116108 7.196045 -10.379765
    Unten links KachelX 17038 KachelY + 1 17335 0.12540293 -0.18134969 7.185059 -10.390572
    Unten rechts KachelX + 1 17039 KachelY + 1 17335 0.12559468 -0.18134969 7.196045 -10.390572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18116108--0.18134969) × R
    0.000188610000000006 × 6371000     		dl = 1201.63431000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18116108--0.18134969) × R
    0.000188610000000006 × 6371000     		dr = 1201.63431000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12540293-0.12559468) × cos(-0.18116108) × R
    0.000191749999999991 × 0.983635162014618 × 6371000     		do = 1201.64732159711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12540293-0.12559468) × cos(-0.18134969) × R
    0.000191749999999991 × 0.983601162320789 × 6371000     		du = 1201.60578623664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18116108)-sin(-0.18134969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983635162014618-0.983601162320789)×R²
    abs(0.12559468-0.12540293)×3.39996938283349e-05×R²
    0.000191749999999991×3.39996938283349e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.39996938283349e-05×40589641000000     		ar = 1443915.6992739m²