Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17036 / 17242
↖ ↑ ↗
← S  9.384032°
E  7.163086°		 ← 1 205.29 m → S  9.384032°
E  7.174072°		 →
↑
1 205.27 m
↓
↑
1 205.27 m
↓
S  9.394871°
E  7.163086°		 ← 1 205.25 m →
1 452 673 m²		 S  9.394871°
E  7.174072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519912719726562 y=0.526199340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519912719726562 × 215)
    floor (0.519912719726562 × 32768)
    floor (17036.5)     		tx = 17036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526199340820312 × 215)
    floor (0.526199340820312 × 32768)
    floor (17242.5)     		ty = 17242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17036 / 17242 ti = "15/17036/17242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17036/17242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17036 ÷ 215
    17036 ÷ 32768     		x = 0.5198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17242 ÷ 215
    17242 ÷ 32768     		y = 0.52618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5198974609375 × 2 - 1) × π
    0.039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12501943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.164519439496033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12501943} λ = 0.12501943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164519439496033))-π/2
    2×atan(0.848301266234955)-π/2
    2×0.703507034687059-π/2
    1.40701406937412-1.57079632675     		φ = -0.16378226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12501943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16378226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.384032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17036 KachelY 17242 0.12501943 -0.16378226 7.163086 -9.384032
    Oben rechts KachelX + 1 17037 KachelY 17242 0.12521118 -0.16378226 7.174072 -9.384032
    Unten links KachelX 17036 KachelY + 1 17243 0.12501943 -0.16397144 7.163086 -9.394871
    Unten rechts KachelX + 1 17037 KachelY + 1 17243 0.12521118 -0.16397144 7.174072 -9.394871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16378226--0.16397144) × R
    0.000189179999999983 × 6371000     		dl = 1205.26577999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16378226--0.16397144) × R
    0.000189179999999983 × 6371000     		dr = 1205.26577999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12501943-0.12521118) × cos(-0.16378226) × R
    0.000191750000000018 × 0.986617640555238 × 6371000     		do = 1205.29083444479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12501943-0.12521118) × cos(-0.16397144) × R
    0.000191750000000018 × 0.986586776910585 × 6371000     		du = 1205.25313020508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16378226)-sin(-0.16397144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986617640555238-0.986586776910585)×R²
    abs(0.12521118-0.12501943)×3.08636446529897e-05×R²
    0.000191750000000018×3.08636446529897e-05×6371000²
    0.000191750000000018×3.08636446529897e-05×40589641000000     		ar = 1452673.08022134m²