Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17034 / 17066
↖ ↑ ↗
← S  7.471411°
E  7.141113°		 ← 1 211.27 m → S  7.471411°
E  7.152100°		 →
↑
1 211.25 m
↓
↑
1 211.25 m
↓
S  7.482304°
E  7.141113°		 ← 1 211.24 m →
1 467 135 m²		 S  7.482304°
E  7.152100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519851684570312 y=0.520828247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519851684570312 × 215)
    floor (0.519851684570312 × 32768)
    floor (17034.5)     		tx = 17034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520828247070312 × 215)
    floor (0.520828247070312 × 32768)
    floor (17066.5)     		ty = 17066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17034 / 17066 ti = "15/17034/17066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17034/17066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17034 ÷ 215
    17034 ÷ 32768     		x = 0.51983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17066 ÷ 215
    17066 ÷ 32768     		y = 0.52081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51983642578125 × 2 - 1) × π
    0.0396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12463594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.0416259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.130771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12463594} λ = 0.12463594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130771862163513))-π/2
    2×atan(0.877417923786178)-π/2
    2×0.720197803339169-π/2
    1.44039560667834-1.57079632675     		φ = -0.13040072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12463594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.141113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13040072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.471411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17034 KachelY 17066 0.12463594 -0.13040072 7.141113 -7.471411
    Oben rechts KachelX + 1 17035 KachelY 17066 0.12482769 -0.13040072 7.152100 -7.471411
    Unten links KachelX 17034 KachelY + 1 17067 0.12463594 -0.13059084 7.141113 -7.482304
    Unten rechts KachelX + 1 17035 KachelY + 1 17067 0.12482769 -0.13059084 7.152100 -7.482304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13040072--0.13059084) × R
    0.000190120000000016 × 6371000     		dl = 1211.2545200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13040072--0.13059084) × R
    0.000190120000000016 × 6371000     		dr = 1211.2545200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12463594-0.12482769) × cos(-0.13040072) × R
    0.000191750000000004 × 0.99150986711177 × 6371000     		do = 1211.26737042605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12463594-0.12482769) × cos(-0.13059084) × R
    0.000191750000000004 × 0.991485127609309 × 6371000     		du = 1211.23714767882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13040072)-sin(-0.13059084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99150986711177-0.991485127609309)×R²
    abs(0.12482769-0.12463594)×2.47395024619568e-05×R²
    0.000191750000000004×2.47395024619568e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.47395024619568e-05×40589641000000     		ar = 1467134.77805669m²