Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17033 / 17061
↖ ↑ ↗
← S  7.416942°
E  7.130127°		 ← 1 211.42 m → S  7.416942°
E  7.141113°		 →
↑
1 211.38 m
↓
↑
1 211.38 m
↓
S  7.427836°
E  7.130127°		 ← 1 211.39 m →
1 467 472 m²		 S  7.427836°
E  7.141113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519821166992188 y=0.520675659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519821166992188 × 215)
    floor (0.519821166992188 × 32768)
    floor (17033.5)     		tx = 17033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520675659179688 × 215)
    floor (0.520675659179688 × 32768)
    floor (17061.5)     		ty = 17061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17033 / 17061 ti = "15/17033/17061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17033/17061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17033 ÷ 215
    17033 ÷ 32768     		x = 0.519805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17061 ÷ 215
    17061 ÷ 32768     		y = 0.520660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519805908203125 × 2 - 1) × π
    0.03961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12444419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.04132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.129813124171112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12444419} λ = 0.12444419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.129813124171112))-π/2
    2×atan(0.878259541065689)-π/2
    2×0.720673131985364-π/2
    1.44134626397073-1.57079632675     		φ = -0.12945006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12444419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.130127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12945006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.416942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17033 KachelY 17061 0.12444419 -0.12945006 7.130127 -7.416942
    Oben rechts KachelX + 1 17034 KachelY 17061 0.12463594 -0.12945006 7.141113 -7.416942
    Unten links KachelX 17033 KachelY + 1 17062 0.12444419 -0.12964020 7.130127 -7.427836
    Unten rechts KachelX + 1 17034 KachelY + 1 17062 0.12463594 -0.12964020 7.141113 -7.427836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12945006--0.12964020) × R
    0.000190140000000005 × 6371000     		dl = 1211.38194000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12945006--0.12964020) × R
    0.000190140000000005 × 6371000     		dr = 1211.38194000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12444419-0.12463594) × cos(-0.12945006) × R
    0.000191750000000004 × 0.991633034770574 × 6371000     		do = 1211.41783687238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12444419-0.12463594) × cos(-0.12964020) × R
    0.000191750000000004 × 0.991608471896459 × 6371000     		du = 1211.38782990126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12945006)-sin(-0.12964020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991633034770574-0.991608471896459)×R²
    abs(0.12463594-0.12444419)×2.45628741151194e-05×R²
    0.000191750000000004×2.45628741151194e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.45628741151194e-05×40589641000000     		ar = 1467471.51885066m²