Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17032 / 17063
↖ ↑ ↗
← S  7.438731°
E  7.119140°		 ← 1 211.36 m → S  7.438731°
E  7.130127°		 →
↑
1 211.32 m
↓
↑
1 211.32 m
↓
S  7.449624°
E  7.119140°		 ← 1 211.33 m →
1 467 322 m²		 S  7.449624°
E  7.130127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519790649414062 y=0.520736694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519790649414062 × 215)
    floor (0.519790649414062 × 32768)
    floor (17032.5)     		tx = 17032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520736694335938 × 215)
    floor (0.520736694335938 × 32768)
    floor (17063.5)     		ty = 17063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17032 / 17063 ti = "15/17032/17063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17032/17063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17032 ÷ 215
    17032 ÷ 32768     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17063 ÷ 215
    17063 ÷ 32768     		y = 0.520721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.04144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.130196619368073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130196619368073))-π/2
    2×atan(0.877922797323937)-π/2
    2×0.720482993443464-π/2
    1.44096598688693-1.57079632675     		φ = -0.12983034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12983034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.438731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17032 KachelY 17063 0.12425244 -0.12983034 7.119140 -7.438731
    Oben rechts KachelX + 1 17033 KachelY 17063 0.12444419 -0.12983034 7.130127 -7.438731
    Unten links KachelX 17032 KachelY + 1 17064 0.12425244 -0.13002047 7.119140 -7.449624
    Unten rechts KachelX + 1 17033 KachelY + 1 17064 0.12444419 -0.13002047 7.130127 -7.449624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12983034--0.13002047) × R
    0.000190130000000011 × 6371000     		dl = 1211.31823000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12983034--0.13002047) × R
    0.000190130000000011 × 6371000     		dr = 1211.31823000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12444419) × cos(-0.12983034) × R
    0.000191749999999991 × 0.991583873172505 × 6371000     		do = 1211.35777913449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12444419) × cos(-0.13002047) × R
    0.000191749999999991 × 0.991559239896146 × 6371000     		du = 1211.32768615724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12983034)-sin(-0.13002047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991583873172505-0.991559239896146)×R²
    abs(0.12444419-0.12425244)×2.46332763588208e-05×R²
    0.000191749999999991×2.46332763588208e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.46332763588208e-05×40589641000000     		ar = 1467321.53925215m²