Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17031 / 24823
↖ ↑ ↗
← S 67.571526°
E  7.108155°		 ← 466.07 m → S 67.571526°
E  7.119140°		 →
↑
466.04 m
↓
↑
466.04 m
↓
S 67.575717°
E  7.108155°		 ← 465.98 m →
217 186 m²		 S 67.575717°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519760131835938 y=0.757553100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519760131835938 × 215)
    floor (0.519760131835938 × 32768)
    floor (17031.5)     		tx = 17031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757553100585938 × 215)
    floor (0.757553100585938 × 32768)
    floor (24823.5)     		ty = 24823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17031 / 24823 ti = "15/17031/24823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17031/24823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17031 ÷ 215
    17031 ÷ 32768     		x = 0.519744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24823 ÷ 215
    24823 ÷ 32768     		y = 0.757537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519744873046875 × 2 - 1) × π
    0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757537841796875 × 2 - 1) × π
    -0.51507568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61815798357462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12406070} λ = 0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61815798357462))-π/2
    2×atan(0.198263567681697)-π/2
    2×0.195725357212926-π/2
    0.391450714425852-1.57079632675     		φ = -1.17934561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17934561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.571526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17031 KachelY 24823 0.12406070 -1.17934561 7.108155 -67.571526
    Oben rechts KachelX + 1 17032 KachelY 24823 0.12425244 -1.17934561 7.119140 -67.571526
    Unten links KachelX 17031 KachelY + 1 24824 0.12406070 -1.17941876 7.108155 -67.575717
    Unten rechts KachelX + 1 17032 KachelY + 1 24824 0.12425244 -1.17941876 7.119140 -67.575717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17934561--1.17941876) × R
    7.31499999999663e-05 × 6371000     		dl = 466.038649999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17934561--1.17941876) × R
    7.31499999999663e-05 × 6371000     		dr = 466.038649999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(-1.17934561) × R
    0.00019174000000001 × 0.381529795691152 × 6371000     		do = 466.067466197533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(-1.17941876) × R
    0.00019174000000001 × 0.381462177989466 × 6371000     		du = 465.984866067082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17934561)-sin(-1.17941876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381529795691152-0.381462177989466)×R²
    abs(0.12425244-0.12406070)×6.761770168634e-05×R²
    0.00019174000000001×6.761770168634e-05×6371000²
    0.00019174000000001×6.761770168634e-05×40589641000000     		ar = 217186.205425622m²