Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17031 / 12991
↖ ↑ ↗
← N 80.789235°
W133.222962°		 ← 48.89 m → N 80.789235°
W133.220215°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.788795°
W133.222962°		 ← 48.89 m →
2 389 m²		 N 80.788795°
W133.220215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129940032958984 y=0.0991172790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129940032958984 × 217)
    floor (0.129940032958984 × 131072)
    floor (17031.5)     		tx = 17031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991172790527344 × 217)
    floor (0.0991172790527344 × 131072)
    floor (12991.5)     		ty = 12991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17031 / 12991 ti = "17/17031/12991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17031/12991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17031 ÷ 217
    17031 ÷ 131072     		x = 0.129936218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12991 ÷ 217
    12991 ÷ 131072     		y = 0.0991134643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129936218261719 × 2 - 1) × π
    -0.740127563476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.32517932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0991134643554688 × 2 - 1) × π
    0.801773071289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.51884439053585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32517932} λ = -2.32517932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51884439053585))-π/2
    2×atan(12.4142423552317)-π/2
    2×1.49041723928866-π/2
    2.98083447857732-1.57079632675     		φ = 1.41003815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32517932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.222962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41003815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.789235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17031 KachelY 12991 -2.32517932 1.41003815 -133.222962 80.789235
    Oben rechts KachelX + 1 17032 KachelY 12991 -2.32513138 1.41003815 -133.220215 80.789235
    Unten links KachelX 17031 KachelY + 1 12992 -2.32517932 1.41003048 -133.222962 80.788795
    Unten rechts KachelX + 1 17032 KachelY + 1 12992 -2.32513138 1.41003048 -133.220215 80.788795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41003815-1.41003048) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41003815-1.41003048) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32517932--2.32513138) × cos(1.41003815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160066653569477 × 6371000     		do = 48.888476115749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32517932--2.32513138) × cos(1.41003048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160074224669386 × 6371000     		du = 48.8907885245414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41003815)-sin(1.41003048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160066653569477-0.160074224669386)×R²
    abs(-2.32513138--2.32517932)×7.57109990914828e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57109990914828e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57109990914828e-06×40589641000000     		ar = 2389.01975033659m²