Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1703 / 313
↖ ↑ ↗
← N 82.009169°
W 30.322266°		 ← 1 358.59 m → N 82.009169°
W 30.234375°		 →
↑
1 359.64 m
↓
↑
1 359.64 m
↓
N 81.996942°
W 30.322266°		 ← 1 360.65 m →
1 848 588 m²		 N 81.996942°
W 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4158935546875 y=0.0765380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4158935546875 × 212)
    floor (0.4158935546875 × 4096)
    floor (1703.5)     		tx = 1703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0765380859375 × 212)
    floor (0.0765380859375 × 4096)
    floor (313.5)     		ty = 313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1703 / 313 ti = "12/1703/313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1703/313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1703 ÷ 212
    1703 ÷ 4096     		x = 0.415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 313 ÷ 212
    313 ÷ 4096     		y = 0.076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.16845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52922337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.076416015625 × 2 - 1) × π
    0.84716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.66145666690552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52922337} λ = -0.52922337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66145666690552))-π/2
    2×atan(14.3171292047408)-π/2
    2×1.50106317318736-π/2
    3.00212634637473-1.57079632675     		φ = 1.43133002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52922337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.322266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43133002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.009169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1703 KachelY 313 -0.52922337 1.43133002 -30.322266 82.009169
    Oben rechts KachelX + 1 1704 KachelY 313 -0.52768939 1.43133002 -30.234375 82.009169
    Unten links KachelX 1703 KachelY + 1 314 -0.52922337 1.43111661 -30.322266 81.996942
    Unten rechts KachelX + 1 1704 KachelY + 1 314 -0.52768939 1.43111661 -30.234375 81.996942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43133002-1.43111661) × R
    0.000213410000000192 × 6371000     		dl = 1359.63511000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43133002-1.43111661) × R
    0.000213410000000192 × 6371000     		dr = 1359.63511000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52922337--0.52768939) × cos(1.43133002) × R
    0.00153397999999993 × 0.139014623247637 × 6371000     		do = 1358.58804742286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52922337--0.52768939) × cos(1.43111661) × R
    0.00153397999999993 × 0.139225957939388 × 6371000     		du = 1360.65341852923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43133002)-sin(1.43111661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.139014623247637-0.139225957939388)×R²
    abs(-0.52768939--0.52922337)×0.000211334691750886×R²
    0.00153397999999993×0.000211334691750886×6371000²
    0.00153397999999993×0.000211334691750886×40589641000000     		ar = 1848588.09185922m²