Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17026 / 24842
↖ ↑ ↗
← S 67.651033°
E  7.053223°		 ← 464.52 m → S 67.651033°
E  7.064209°		 →
↑
464.45 m
↓
↑
464.45 m
↓
S 67.655210°
E  7.053223°		 ← 464.44 m →
215 727 m²		 S 67.655210°
E  7.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519607543945312 y=0.758132934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519607543945312 × 215)
    floor (0.519607543945312 × 32768)
    floor (17026.5)     		tx = 17026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758132934570312 × 215)
    floor (0.758132934570312 × 32768)
    floor (24842.5)     		ty = 24842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17026 / 24842 ti = "15/17026/24842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17026/24842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17026 ÷ 215
    17026 ÷ 32768     		x = 0.51959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24842 ÷ 215
    24842 ÷ 32768     		y = 0.75811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51959228515625 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.5162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62180118794574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12310196} λ = 0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62180118794574))-π/2
    2×atan(0.197542567158895)-π/2
    2×0.195031530857859-π/2
    0.390063061715718-1.57079632675     		φ = -1.18073327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18073327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.651033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17026 KachelY 24842 0.12310196 -1.18073327 7.053223 -67.651033
    Oben rechts KachelX + 1 17027 KachelY 24842 0.12329371 -1.18073327 7.064209 -67.651033
    Unten links KachelX 17026 KachelY + 1 24843 0.12310196 -1.18080617 7.053223 -67.655210
    Unten rechts KachelX + 1 17027 KachelY + 1 24843 0.12329371 -1.18080617 7.064209 -67.655210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18073327--1.18080617) × R
    7.29000000001534e-05 × 6371000     		dl = 464.445900000977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18073327--1.18080617) × R
    7.29000000001534e-05 × 6371000     		dr = 464.445900000977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12310196-0.12329371) × cos(-1.18073327) × R
    0.000191750000000004 × 0.380246736168163 × 6371000     		do = 464.524337587434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12310196-0.12329371) × cos(-1.18080617) × R
    0.000191750000000004 × 0.380179311035165 × 6371000     		du = 464.441968398527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18073327)-sin(-1.18080617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380246736168163-0.380179311035165)×R²
    abs(0.12329371-0.12310196)×6.74251329980669e-05×R²
    0.000191750000000004×6.74251329980669e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.74251329980669e-05×40589641000000     		ar = 215727.296123319m²