Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17024 / 24448
↖ ↑ ↗
← S 65.946472°
E  7.031250°		 ← 497.93 m → S 65.946472°
E  7.042236°		 →
↑
497.89 m
↓
↑
497.89 m
↓
S 65.950949°
E  7.031250°		 ← 497.84 m →
247 893 m²		 S 65.950949°
E  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519546508789062 y=0.746109008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519546508789062 × 215)
    floor (0.519546508789062 × 32768)
    floor (17024.5)     		tx = 17024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746109008789062 × 215)
    floor (0.746109008789062 × 32768)
    floor (24448.5)     		ty = 24448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17024 / 24448 ti = "15/17024/24448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17024/24448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17024 ÷ 215
    17024 ÷ 32768     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24448 ÷ 215
    24448 ÷ 32768     		y = 0.74609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74609375 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54625263414453))-π/2
    2×atan(0.213044836772739)-π/2
    2×0.209906632122725-π/2
    0.419813264245451-1.57079632675     		φ = -1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17024 KachelY 24448 0.12271846 -1.15098306 7.031250 -65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 17025 KachelY 24448 0.12291021 -1.15098306 7.042236 -65.946472
    Unten links KachelX 17024 KachelY + 1 24449 0.12271846 -1.15106121 7.031250 -65.950949
    Unten rechts KachelX + 1 17025 KachelY + 1 24449 0.12291021 -1.15106121 7.042236 -65.950949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15098306--1.15106121) × R
    7.81499999999991e-05 × 6371000     		dl = 497.893649999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15098306--1.15106121) × R
    7.81499999999991e-05 × 6371000     		dr = 497.893649999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12291021) × cos(-1.15098306) × R
    0.000191750000000004 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 497.927870963296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12291021) × cos(-1.15106121) × R
    0.000191750000000004 × 0.407518576832473 × 6371000     		du = 497.840688562701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15098306)-sin(-1.15106121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.407518576832473)×R²
    abs(0.12291021-0.12271846)×7.13650945604605e-05×R²
    0.000191750000000004×7.13650945604605e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.13650945604605e-05×40589641000000     		ar = 247893.421455285m²