Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17024 / 10621
↖ ↑ ↗
← N 53.350551°
E  7.031250°		 ← 729.22 m → N 53.350551°
E  7.042236°		 →
↑
729.29 m
↓
↑
729.29 m
↓
N 53.343993°
E  7.031250°		 ← 729.33 m →
531 851 m²		 N 53.343993°
E  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519546508789062 y=0.324142456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519546508789062 × 215)
    floor (0.519546508789062 × 32768)
    floor (17024.5)     		tx = 17024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324142456054688 × 215)
    floor (0.324142456054688 × 32768)
    floor (10621.5)     		ty = 10621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17024 / 10621 ti = "15/17024/10621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17024/10621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17024 ÷ 215
    17024 ÷ 32768     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10621 ÷ 215
    10621 ÷ 32768     		y = 0.324127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324127197265625 × 2 - 1) × π
    0.35174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10504141004153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10504141004153))-π/2
    2×atan(3.01934949760593)-π/2
    2×1.25096955251816-π/2
    2.50193910503632-1.57079632675     		φ = 0.93114278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93114278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.350551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17024 KachelY 10621 0.12271846 0.93114278 7.031250 53.350551
    Oben rechts KachelX + 1 17025 KachelY 10621 0.12291021 0.93114278 7.042236 53.350551
    Unten links KachelX 17024 KachelY + 1 10622 0.12271846 0.93102831 7.031250 53.343993
    Unten rechts KachelX + 1 17025 KachelY + 1 10622 0.12291021 0.93102831 7.042236 53.343993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93114278-0.93102831) × R
    0.000114469999999978 × 6371000     		dl = 729.288369999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93114278-0.93102831) × R
    0.000114469999999978 × 6371000     		dr = 729.288369999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12291021) × cos(0.93114278) × R
    0.000191750000000004 × 0.596917516881201 × 6371000     		do = 729.21786763463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12291021) × cos(0.93102831) × R
    0.000191750000000004 × 0.59700935254995 × 6371000     		du = 729.330057692124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93114278)-sin(0.93102831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596917516881201-0.59700935254995)×R²
    abs(0.12291021-0.12271846)×9.18356687492627e-05×R²
    0.000191750000000004×9.18356687492627e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.18356687492627e-05×40589641000000     		ar = 531851.020094303m²