Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17020 / 17167
↖ ↑ ↗
← S  8.570158°
E  6.987305°		 ← 1 208 m → S  8.570158°
E  6.998291°		 →
↑
1 207.94 m
↓
↑
1 207.94 m
↓
S  8.581021°
E  6.987305°		 ← 1 207.96 m →
1 459 171 m²		 S  8.581021°
E  6.998291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519424438476562 y=0.523910522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519424438476562 × 215)
    floor (0.519424438476562 × 32768)
    floor (17020.5)     		tx = 17020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523910522460938 × 215)
    floor (0.523910522460938 × 32768)
    floor (17167.5)     		ty = 17167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17020 / 17167 ti = "15/17020/17167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17020/17167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17020 ÷ 215
    17020 ÷ 32768     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17167 ÷ 215
    17167 ÷ 32768     		y = 0.523895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523895263671875 × 2 - 1) × π
    -0.04779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.150138369610016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150138369610016))-π/2
    2×atan(0.860588888837264)-π/2
    2×0.710609428631368-π/2
    1.42121885726274-1.57079632675     		φ = -0.14957747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14957747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.570158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17020 KachelY 17167 0.12195147 -0.14957747 6.987305 -8.570158
    Oben rechts KachelX + 1 17021 KachelY 17167 0.12214322 -0.14957747 6.998291 -8.570158
    Unten links KachelX 17020 KachelY + 1 17168 0.12195147 -0.14976707 6.987305 -8.581021
    Unten rechts KachelX + 1 17021 KachelY + 1 17168 0.12214322 -0.14976707 6.998291 -8.581021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14957747--0.14976707) × R
    0.000189600000000012 × 6371000     		dl = 1207.94160000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14957747--0.14976707) × R
    0.000189600000000012 × 6371000     		dr = 1207.94160000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12214322) × cos(-0.14957747) × R
    0.000191749999999991 × 0.988834131764837 × 6371000     		do = 1207.99858710354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12214322) × cos(-0.14976707) × R
    0.000191749999999991 × 0.988805859736353 × 6371000     		du = 1207.96404888386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14957747)-sin(-0.14976707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988834131764837-0.988805859736353)×R²
    abs(0.12214322-0.12195147)×2.82720284845439e-05×R²
    0.000191749999999991×2.82720284845439e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.82720284845439e-05×40589641000000     		ar = 1459170.89039882m²