Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1702 / 468
↖ ↑ ↗
← N 79.874297°
W 30.410156°		 ← 1 718.17 m → N 79.874297°
W 30.322266°		 →
↑
1 719.47 m
↓
↑
1 719.47 m
↓
N 79.858833°
W 30.410156°		 ← 1 720.77 m →
2 956 577 m²		 N 79.858833°
W 30.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4156494140625 y=0.1143798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4156494140625 × 212)
    floor (0.4156494140625 × 4096)
    floor (1702.5)     		tx = 1702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1143798828125 × 212)
    floor (0.1143798828125 × 4096)
    floor (468.5)     		ty = 468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1702 / 468 ti = "12/1702/468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1702/468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1702 ÷ 212
    1702 ÷ 4096     		x = 0.41552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 468 ÷ 212
    468 ÷ 4096     		y = 0.1142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53075735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1142578125 × 2 - 1) × π
    0.771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42368964479004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53075735} λ = -0.53075735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42368964479004))-π/2
    2×atan(11.2874291829769)-π/2
    2×1.48243289793123-π/2
    2.96486579586246-1.57079632675     		φ = 1.39406947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53075735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39406947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.874297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1702 KachelY 468 -0.53075735 1.39406947 -30.410156 79.874297
    Oben rechts KachelX + 1 1703 KachelY 468 -0.52922337 1.39406947 -30.322266 79.874297
    Unten links KachelX 1702 KachelY + 1 469 -0.53075735 1.39379958 -30.410156 79.858833
    Unten rechts KachelX + 1 1703 KachelY + 1 469 -0.52922337 1.39379958 -30.322266 79.858833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39406947-1.39379958) × R
    0.000269889999999995 × 6371000     		dl = 1719.46918999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39406947-1.39379958) × R
    0.000269889999999995 × 6371000     		dr = 1719.46918999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53075735--0.52922337) × cos(1.39406947) × R
    0.00153398000000005 × 0.175808358865107 × 6371000     		do = 1718.17273184057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53075735--0.52922337) × cos(1.39379958) × R
    0.00153398000000005 × 0.17607403876317 × 6371000     		du = 1720.76921791891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39406947)-sin(1.39379958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175808358865107-0.17607403876317)×R²
    abs(-0.52922337--0.53075735)×0.000265679898062449×R²
    0.00153398000000005×0.000265679898062449×6371000²
    0.00153398000000005×0.000265679898062449×40589641000000     		ar = 2956577.38234925m²