Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1702 / 2725
↖ ↑ ↗
← S 51.013755°
W 30.410156°		 ← 6 148.52 m → S 51.013755°
W 30.322266°		 →
↑
6 144.89 m
↓
↑
6 144.89 m
↓
S 51.069017°
W 30.410156°		 ← 6 141.19 m →
37 759 459 m²		 S 51.069017°
W 30.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4156494140625 y=0.6654052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4156494140625 × 212)
    floor (0.4156494140625 × 4096)
    floor (1702.5)     		tx = 1702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6654052734375 × 212)
    floor (0.6654052734375 × 4096)
    floor (2725.5)     		ty = 2725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1702 / 2725 ti = "12/1702/2725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1702/2725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1702 ÷ 212
    1702 ÷ 4096     		x = 0.41552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2725 ÷ 212
    2725 ÷ 4096     		y = 0.665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53075735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.33056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0385049933689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53075735} λ = -0.53075735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0385049933689))-π/2
    2×atan(0.353983494242545)-π/2
    2×0.340219172120523-π/2
    0.680438344241046-1.57079632675     		φ = -0.89035798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53075735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89035798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.013755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1702 KachelY 2725 -0.53075735 -0.89035798 -30.410156 -51.013755
    Oben rechts KachelX + 1 1703 KachelY 2725 -0.52922337 -0.89035798 -30.322266 -51.013755
    Unten links KachelX 1702 KachelY + 1 2726 -0.53075735 -0.89132249 -30.410156 -51.069017
    Unten rechts KachelX + 1 1703 KachelY + 1 2726 -0.52922337 -0.89132249 -30.322266 -51.069017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89035798--0.89132249) × R
    0.000964509999999974 × 6371000     		dl = 6144.89320999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89035798--0.89132249) × R
    0.000964509999999974 × 6371000     		dr = 6144.89320999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53075735--0.52922337) × cos(-0.89035798) × R
    0.00153398000000005 × 0.629133810105984 × 6371000     		do = 6148.51628319023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53075735--0.52922337) × cos(-0.89132249) × R
    0.00153398000000005 × 0.628383806843492 × 6371000     		du = 6141.18651137095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89035798)-sin(-0.89132249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629133810105984-0.628383806843492)×R²
    abs(-0.52922337--0.53075735)×0.000750003262491639×R²
    0.00153398000000005×0.000750003262491639×6371000²
    0.00153398000000005×0.000750003262491639×40589641000000     		ar = 37759458.5548434m²