Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17018 / 24828
↖ ↑ ↗
← S 67.592475°
E  6.965332°		 ← 465.68 m → S 67.592475°
E  6.976319°		 →
↑
465.59 m
↓
↑
465.59 m
↓
S 67.596662°
E  6.965332°		 ← 465.60 m →
216 797 m²		 S 67.596662°
E  6.976319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519363403320312 y=0.757705688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519363403320312 × 215)
    floor (0.519363403320312 × 32768)
    floor (17018.5)     		tx = 17018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757705688476562 × 215)
    floor (0.757705688476562 × 32768)
    floor (24828.5)     		ty = 24828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17018 / 24828 ti = "15/17018/24828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17018/24828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17018 ÷ 215
    17018 ÷ 32768     		x = 0.51934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24828 ÷ 215
    24828 ÷ 32768     		y = 0.7576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51934814453125 × 2 - 1) × π
    0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.515380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61911672156702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12156798} λ = 0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61911672156702))-π/2
    2×atan(0.198073575957547)-π/2
    2×0.195542544680507-π/2
    0.391085089361013-1.57079632675     		φ = -1.17971124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17971124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.592475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17018 KachelY 24828 0.12156798 -1.17971124 6.965332 -67.592475
    Oben rechts KachelX + 1 17019 KachelY 24828 0.12175973 -1.17971124 6.976319 -67.592475
    Unten links KachelX 17018 KachelY + 1 24829 0.12156798 -1.17978432 6.965332 -67.596662
    Unten rechts KachelX + 1 17019 KachelY + 1 24829 0.12175973 -1.17978432 6.976319 -67.596662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17971124--1.17978432) × R
    7.30799999999476e-05 × 6371000     		dl = 465.592679999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17971124--1.17978432) × R
    7.30799999999476e-05 × 6371000     		dr = 465.592679999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12156798-0.12175973) × cos(-1.17971124) × R
    0.000191749999999991 × 0.381191797714113 × 6371000     		do = 465.678861865598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12156798-0.12175973) × cos(-1.17978432) × R
    0.000191749999999991 × 0.381124234530188 × 6371000     		du = 465.59632402826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17971124)-sin(-1.17978432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381191797714113-0.381124234530188)×R²
    abs(0.12175973-0.12156798)×6.75631839256452e-05×R²
    0.000191749999999991×6.75631839256452e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.75631839256452e-05×40589641000000     		ar = 216797.454904875m²