Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17018 / 17195
↖ ↑ ↗
← S  8.874217°
E  6.965332°		 ← 1 207.02 m → S  8.874217°
E  6.976319°		 →
↑
1 206.92 m
↓
↑
1 206.92 m
↓
S  8.885071°
E  6.965332°		 ← 1 206.98 m →
1 456 752 m²		 S  8.885071°
E  6.976319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519363403320312 y=0.524765014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519363403320312 × 215)
    floor (0.519363403320312 × 32768)
    floor (17018.5)     		tx = 17018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524765014648438 × 215)
    floor (0.524765014648438 × 32768)
    floor (17195.5)     		ty = 17195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17018 / 17195 ti = "15/17018/17195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17018/17195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17018 ÷ 215
    17018 ÷ 32768     		x = 0.51934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17195 ÷ 215
    17195 ÷ 32768     		y = 0.524749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51934814453125 × 2 - 1) × π
    0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.04949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155507302367462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12156798} λ = 0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155507302367462))-π/2
    2×atan(0.855980826219573)-π/2
    2×0.70795601072741-π/2
    1.41591202145482-1.57079632675     		φ = -0.15488431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15488431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.874217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17018 KachelY 17195 0.12156798 -0.15488431 6.965332 -8.874217
    Oben rechts KachelX + 1 17019 KachelY 17195 0.12175973 -0.15488431 6.976319 -8.874217
    Unten links KachelX 17018 KachelY + 1 17196 0.12156798 -0.15507375 6.965332 -8.885071
    Unten rechts KachelX + 1 17019 KachelY + 1 17196 0.12175973 -0.15507375 6.976319 -8.885071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15488431--0.15507375) × R
    0.000189440000000013 × 6371000     		dl = 1206.92224000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15488431--0.15507375) × R
    0.000189440000000013 × 6371000     		dr = 1206.92224000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12156798-0.12175973) × cos(-0.15488431) × R
    0.000191749999999991 × 0.988029384396027 × 6371000     		do = 1207.01547613146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12156798-0.12175973) × cos(-0.15507375) × R
    0.000191749999999991 × 0.988000142554999 × 6371000     		du = 1206.97975315072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15488431)-sin(-0.15507375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988029384396027-0.988000142554999)×R²
    abs(0.12175973-0.12156798)×2.92418410275941e-05×R²
    0.000191749999999991×2.92418410275941e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.92418410275941e-05×40589641000000     		ar = 1456752.26909396m²