Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17017 / 17236
↖ ↑ ↗
← S  9.318990°
E  6.954346°		 ← 1 205.52 m → S  9.318990°
E  6.965332°		 →
↑
1 205.52 m
↓
↑
1 205.52 m
↓
S  9.329832°
E  6.954346°		 ← 1 205.48 m →
1 453 252 m²		 S  9.329832°
E  6.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519332885742188 y=0.526016235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519332885742188 × 215)
    floor (0.519332885742188 × 32768)
    floor (17017.5)     		tx = 17017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526016235351562 × 215)
    floor (0.526016235351562 × 32768)
    floor (17236.5)     		ty = 17236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17017 / 17236 ti = "15/17017/17236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17017/17236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17017 ÷ 215
    17017 ÷ 32768     		x = 0.519317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17236 ÷ 215
    17236 ÷ 32768     		y = 0.5260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519317626953125 × 2 - 1) × π
    0.03863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12137623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5260009765625 × 2 - 1) × π
    -0.052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.163368953905151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12137623} λ = 0.12137623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163368953905151))-π/2
    2×atan(0.849277786246875)-π/2
    2×0.704074632490551-π/2
    1.4081492649811-1.57079632675     		φ = -0.16264706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12137623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.954346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16264706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.318990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17017 KachelY 17236 0.12137623 -0.16264706 6.954346 -9.318990
    Oben rechts KachelX + 1 17018 KachelY 17236 0.12156798 -0.16264706 6.965332 -9.318990
    Unten links KachelX 17017 KachelY + 1 17237 0.12137623 -0.16283628 6.954346 -9.329832
    Unten rechts KachelX + 1 17018 KachelY + 1 17237 0.12156798 -0.16283628 6.965332 -9.329832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16264706--0.16283628) × R
    0.00018921999999999 × 6371000     		dl = 1205.52061999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16264706--0.16283628) × R
    0.00018921999999999 × 6371000     		dr = 1205.52061999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12137623-0.12156798) × cos(-0.16264706) × R
    0.000191750000000004 × 0.986802100303568 × 6371000     		do = 1205.5161777133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12137623-0.12156798) × cos(-0.16283628) × R
    0.000191750000000004 × 0.986771442073917 × 6371000     		du = 1205.47872441663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16264706)-sin(-0.16283628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986802100303568-0.986771442073917)×R²
    abs(0.12156798-0.12137623)×3.06582296503155e-05×R²
    0.000191750000000004×3.06582296503155e-05×6371000²
    0.000191750000000004×3.06582296503155e-05×40589641000000     		ar = 1453252.03895217m²