Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17017 / 11222
↖ ↑ ↗
← N 49.224773°
E  6.954346°		 ← 797.84 m → N 49.224773°
E  6.965332°		 →
↑
797.90 m
↓
↑
797.90 m
↓
N 49.217597°
E  6.954346°		 ← 797.96 m →
636 649 m²		 N 49.217597°
E  6.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519332885742188 y=0.342483520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519332885742188 × 215)
    floor (0.519332885742188 × 32768)
    floor (17017.5)     		tx = 17017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342483520507812 × 215)
    floor (0.342483520507812 × 32768)
    floor (11222.5)     		ty = 11222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17017 / 11222 ti = "15/17017/11222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17017/11222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17017 ÷ 215
    17017 ÷ 32768     		x = 0.519317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11222 ÷ 215
    11222 ÷ 32768     		y = 0.34246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519317626953125 × 2 - 1) × π
    0.03863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12137623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34246826171875 × 2 - 1) × π
    0.3150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989801103354919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12137623} λ = 0.12137623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989801103354919))-π/2
    2×atan(2.69069924807051)-π/2
    2×1.21496534216754-π/2
    2.42993068433508-1.57079632675     		φ = 0.85913436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12137623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.954346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85913436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.224773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17017 KachelY 11222 0.12137623 0.85913436 6.954346 49.224773
    Oben rechts KachelX + 1 17018 KachelY 11222 0.12156798 0.85913436 6.965332 49.224773
    Unten links KachelX 17017 KachelY + 1 11223 0.12137623 0.85900912 6.954346 49.217597
    Unten rechts KachelX + 1 17018 KachelY + 1 11223 0.12156798 0.85900912 6.965332 49.217597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85913436-0.85900912) × R
    0.000125240000000026 × 6371000     		dl = 797.904040000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85913436-0.85900912) × R
    0.000125240000000026 × 6371000     		dr = 797.904040000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12137623-0.12156798) × cos(0.85913436) × R
    0.000191750000000004 × 0.653093242471947 × 6371000     		do = 797.844338913516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12137623-0.12156798) × cos(0.85900912) × R
    0.000191750000000004 × 0.65318807878428 × 6371000     		du = 797.960194674987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85913436)-sin(0.85900912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653093242471947-0.65318807878428)×R²
    abs(0.12156798-0.12137623)×9.48363123324247e-05×R²
    0.000191750000000004×9.48363123324247e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.48363123324247e-05×40589641000000     		ar = 636649.443032829m²