Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17015 / 17162
↖ ↑ ↗
← S  8.515836°
E  6.932373°		 ← 1 208.17 m → S  8.515836°
E  6.943359°		 →
↑
1 208.13 m
↓
↑
1 208.13 m
↓
S  8.526701°
E  6.932373°		 ← 1 208.14 m →
1 459 610 m²		 S  8.526701°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519271850585938 y=0.523757934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519271850585938 × 215)
    floor (0.519271850585938 × 32768)
    floor (17015.5)     		tx = 17015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523757934570312 × 215)
    floor (0.523757934570312 × 32768)
    floor (17162.5)     		ty = 17162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17015 / 17162 ti = "15/17015/17162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17015/17162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17015 ÷ 215
    17015 ÷ 32768     		x = 0.519256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17162 ÷ 215
    17162 ÷ 32768     		y = 0.52374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519256591796875 × 2 - 1) × π
    0.03851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12099273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.149179631617615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12099273} λ = 0.12099273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149179631617615))-π/2
    2×atan(0.861414363744678)-π/2
    2×0.711083478848858-π/2
    1.42216695769772-1.57079632675     		φ = -0.14862937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12099273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.932373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14862937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.515836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17015 KachelY 17162 0.12099273 -0.14862937 6.932373 -8.515836
    Oben rechts KachelX + 1 17016 KachelY 17162 0.12118448 -0.14862937 6.943359 -8.515836
    Unten links KachelX 17015 KachelY + 1 17163 0.12099273 -0.14881900 6.932373 -8.526701
    Unten rechts KachelX + 1 17016 KachelY + 1 17163 0.12118448 -0.14881900 6.943359 -8.526701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14862937--0.14881900) × R
    0.000189629999999996 × 6371000     		dl = 1208.13272999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14862937--0.14881900) × R
    0.000189629999999996 × 6371000     		dr = 1208.13272999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12099273-0.12118448) × cos(-0.14862937) × R
    0.000191749999999991 × 0.988974973493746 × 6371000     		do = 1208.17064488761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12099273-0.12118448) × cos(-0.14881900) × R
    0.000191749999999991 × 0.988946874779879 × 6371000     		du = 1208.13631839588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14862937)-sin(-0.14881900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988974973493746-0.988946874779879)×R²
    abs(0.12118448-0.12099273)×2.80987138669975e-05×R²
    0.000191749999999991×2.80987138669975e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.80987138669975e-05×40589641000000     		ar = 1459609.76840866m²