Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17014 / 17165
↖ ↑ ↗
← S  8.548430°
E  6.921387°		 ← 1 208 m → S  8.548430°
E  6.932373°		 →
↑
1 208.01 m
↓
↑
1 208.01 m
↓
S  8.559294°
E  6.921387°		 ← 1 207.97 m →
1 459 255 m²		 S  8.559294°
E  6.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519241333007812 y=0.523849487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519241333007812 × 215)
    floor (0.519241333007812 × 32768)
    floor (17014.5)     		tx = 17014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523849487304688 × 215)
    floor (0.523849487304688 × 32768)
    floor (17165.5)     		ty = 17165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17014 / 17165 ti = "15/17014/17165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17014/17165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17014 ÷ 215
    17014 ÷ 32768     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17165 ÷ 215
    17165 ÷ 32768     		y = 0.523834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.04766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.149754874413055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149754874413055))-π/2
    2×atan(0.860918983833568)-π/2
    2×0.710799040614875-π/2
    1.42159808122975-1.57079632675     		φ = -0.14919825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14919825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.548430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17014 KachelY 17165 0.12080099 -0.14919825 6.921387 -8.548430
    Oben rechts KachelX + 1 17015 KachelY 17165 0.12099273 -0.14919825 6.932373 -8.548430
    Unten links KachelX 17014 KachelY + 1 17166 0.12080099 -0.14938786 6.921387 -8.559294
    Unten rechts KachelX + 1 17015 KachelY + 1 17166 0.12099273 -0.14938786 6.932373 -8.559294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14919825--0.14938786) × R
    0.000189610000000007 × 6371000     		dl = 1208.00531000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14919825--0.14938786) × R
    0.000189610000000007 × 6371000     		dr = 1208.00531000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(-0.14919825) × R
    0.00019174000000001 × 0.988890572153396 × 6371000     		do = 1208.00453467925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(-0.14938786) × R
    0.00019174000000001 × 0.988862369734883 × 6371000     		du = 1207.97008329463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14919825)-sin(-0.14938786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988890572153396-0.988862369734883)×R²
    abs(0.12099273-0.12080099)×2.82024185129792e-05×R²
    0.00019174000000001×2.82024185129792e-05×6371000²
    0.00019174000000001×2.82024185129792e-05×40589641000000     		ar = 1459255.08804081m²