Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17014 / 17147
↖ ↑ ↗
← S  8.352823°
E  6.921387°		 ← 1 208.62 m → S  8.352823°
E  6.932373°		 →
↑
1 208.64 m
↓
↑
1 208.64 m
↓
S  8.363692°
E  6.921387°		 ← 1 208.58 m →
1 460 766 m²		 S  8.363692°
E  6.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519241333007812 y=0.523300170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519241333007812 × 215)
    floor (0.519241333007812 × 32768)
    floor (17014.5)     		tx = 17014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523300170898438 × 215)
    floor (0.523300170898438 × 32768)
    floor (17147.5)     		ty = 17147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17014 / 17147 ti = "15/17014/17147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17014/17147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17014 ÷ 215
    17014 ÷ 32768     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17147 ÷ 215
    17147 ÷ 32768     		y = 0.523284912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523284912109375 × 2 - 1) × π
    -0.04656982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.146303417640411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146303417640411))-π/2
    2×atan(0.863895542267534)-π/2
    2×0.712506031675117-π/2
    1.42501206335023-1.57079632675     		φ = -0.14578426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14578426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.352823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17014 KachelY 17147 0.12080099 -0.14578426 6.921387 -8.352823
    Oben rechts KachelX + 1 17015 KachelY 17147 0.12099273 -0.14578426 6.932373 -8.352823
    Unten links KachelX 17014 KachelY + 1 17148 0.12080099 -0.14597397 6.921387 -8.363692
    Unten rechts KachelX + 1 17015 KachelY + 1 17148 0.12099273 -0.14597397 6.932373 -8.363692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14578426--0.14597397) × R
    0.00018971000000001 × 6371000     		dl = 1208.64241000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14578426--0.14597397) × R
    0.00018971000000001 × 6371000     		dr = 1208.64241000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(-0.14578426) × R
    0.00019174000000001 × 0.989392281946497 × 6371000     		do = 1208.61741109068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(-0.14597397) × R
    0.00019174000000001 × 0.989364705271577 × 6371000     		du = 1208.58372409913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14578426)-sin(-0.14597397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989392281946497-0.989364705271577)×R²
    abs(0.12099273-0.12080099)×2.75766749193718e-05×R²
    0.00019174000000001×2.75766749193718e-05×6371000²
    0.00019174000000001×2.75766749193718e-05×40589641000000     		ar = 1460765.90712647m²