Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17012 / 17245
↖ ↑ ↗
← S  9.416549°
E  6.899414°		 ← 1 205.18 m → S  9.416549°
E  6.910400°		 →
↑
1 205.14 m
↓
↑
1 205.14 m
↓
S  9.427387°
E  6.899414°		 ← 1 205.14 m →
1 452 383 m²		 S  9.427387°
E  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519180297851562 y=0.526290893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519180297851562 × 215)
    floor (0.519180297851562 × 32768)
    floor (17012.5)     		tx = 17012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526290893554688 × 215)
    floor (0.526290893554688 × 32768)
    floor (17245.5)     		ty = 17245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17012 / 17245 ti = "15/17012/17245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17012/17245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17012 ÷ 215
    17012 ÷ 32768     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17245 ÷ 215
    17245 ÷ 32768     		y = 0.526275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.05255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.165094682291473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165094682291473))-π/2
    2×atan(0.847813427369539)-π/2
    2×0.703223275665022-π/2
    1.40644655133004-1.57079632675     		φ = -0.16434978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16434978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.416549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17012 KachelY 17245 0.12041749 -0.16434978 6.899414 -9.416549
    Oben rechts KachelX + 1 17013 KachelY 17245 0.12060924 -0.16434978 6.910400 -9.416549
    Unten links KachelX 17012 KachelY + 1 17246 0.12041749 -0.16453894 6.899414 -9.427387
    Unten rechts KachelX + 1 17013 KachelY + 1 17246 0.12060924 -0.16453894 6.910400 -9.427387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16434978--0.16453894) × R
    0.000189159999999994 × 6371000     		dl = 1205.13835999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16434978--0.16453894) × R
    0.000189159999999994 × 6371000     		dr = 1205.13835999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12060924) × cos(-0.16434978) × R
    0.000191750000000004 × 0.986524946967527 × 6371000     		do = 1205.17759631973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12060924) × cos(-0.16453894) × R
    0.000191750000000004 × 0.986493980678799 × 6371000     		du = 1205.13976668599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16434978)-sin(-0.16453894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986524946967527-0.986493980678799)×R²
    abs(0.12060924-0.12041749)×3.0966288727563e-05×R²
    0.000191750000000004×3.0966288727563e-05×6371000²
    0.000191750000000004×3.0966288727563e-05×40589641000000     		ar = 1452382.96129675m²