Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17011 / 24795
↖ ↑ ↗
← S 67.453869°
E  6.888427°		 ← 468.41 m → S 67.453869°
E  6.899414°		 →
↑
468.40 m
↓
↑
468.40 m
↓
S 67.458082°
E  6.888427°		 ← 468.33 m →
219 382 m²		 S 67.458082°
E  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519149780273438 y=0.756698608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519149780273438 × 215)
    floor (0.519149780273438 × 32768)
    floor (17011.5)     		tx = 17011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756698608398438 × 215)
    floor (0.756698608398438 × 32768)
    floor (24795.5)     		ty = 24795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17011 / 24795 ti = "15/17011/24795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17011/24795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17011 ÷ 215
    17011 ÷ 32768     		x = 0.519134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24795 ÷ 215
    24795 ÷ 32768     		y = 0.756683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519134521484375 × 2 - 1) × π
    0.03826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12022574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756683349609375 × 2 - 1) × π
    -0.51336669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61278905081717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12022574} λ = 0.12022574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61278905081717))-π/2
    2×atan(0.199330894082826)-π/2
    2×0.196752106068557-π/2
    0.393504212137113-1.57079632675     		φ = -1.17729211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12022574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.888427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17729211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.453869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17011 KachelY 24795 0.12022574 -1.17729211 6.888427 -67.453869
    Oben rechts KachelX + 1 17012 KachelY 24795 0.12041749 -1.17729211 6.899414 -67.453869
    Unten links KachelX 17011 KachelY + 1 24796 0.12022574 -1.17736563 6.888427 -67.458082
    Unten rechts KachelX + 1 17012 KachelY + 1 24796 0.12041749 -1.17736563 6.899414 -67.458082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17729211--1.17736563) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dl = 468.395919999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17729211--1.17736563) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dr = 468.395919999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12022574-0.12041749) × cos(-1.17729211) × R
    0.000191750000000004 × 0.383427156085154 × 6371000     		do = 468.409663389511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12022574-0.12041749) × cos(-1.17736563) × R
    0.000191750000000004 × 0.383359254100134 × 6371000     		du = 468.326711659458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17729211)-sin(-1.17736563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383427156085154-0.383359254100134)×R²
    abs(0.12041749-0.12022574)×6.79019850202689e-05×R²
    0.000191750000000004×6.79019850202689e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.79019850202689e-05×40589641000000     		ar = 219381.748192951m²