Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17010 / 17265
↖ ↑ ↗
← S  9.633246°
E  6.877442°		 ← 1 204.35 m → S  9.633246°
E  6.888427°		 →
↑
1 204.37 m
↓
↑
1 204.37 m
↓
S  9.644077°
E  6.877442°		 ← 1 204.31 m →
1 450 465 m²		 S  9.644077°
E  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519119262695312 y=0.526901245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519119262695312 × 215)
    floor (0.519119262695312 × 32768)
    floor (17010.5)     		tx = 17010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526901245117188 × 215)
    floor (0.526901245117188 × 32768)
    floor (17265.5)     		ty = 17265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17010 / 17265 ti = "15/17010/17265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17010/17265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17010 ÷ 215
    17010 ÷ 32768     		x = 0.51910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17265 ÷ 215
    17265 ÷ 32768     		y = 0.526885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51910400390625 × 2 - 1) × π
    0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.05377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.168929634261078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12003400} λ = 0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168929634261078))-π/2
    2×atan(0.844568329969821)-π/2
    2×0.701332235598884-π/2
    1.40266447119777-1.57079632675     		φ = -0.16813186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16813186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.633246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17010 KachelY 17265 0.12003400 -0.16813186 6.877442 -9.633246
    Oben rechts KachelX + 1 17011 KachelY 17265 0.12022574 -0.16813186 6.888427 -9.633246
    Unten links KachelX 17010 KachelY + 1 17266 0.12003400 -0.16832090 6.877442 -9.644077
    Unten rechts KachelX + 1 17011 KachelY + 1 17266 0.12022574 -0.16832090 6.888427 -9.644077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16813186--0.16832090) × R
    0.000189040000000001 × 6371000     		dl = 1204.37384000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16813186--0.16832090) × R
    0.000189040000000001 × 6371000     		dr = 1204.37384000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12003400-0.12022574) × cos(-0.16813186) × R
    0.000191739999999996 × 0.985899103220481 × 6371000     		do = 1204.35022940205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12003400-0.12022574) × cos(-0.16832090) × R
    0.000191739999999996 × 0.985867451491302 × 6371000     		du = 1204.31156442388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16813186)-sin(-0.16832090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985899103220481-0.985867451491302)×R²
    abs(0.12022574-0.12003400)×3.16517291785168e-05×R²
    0.000191739999999996×3.16517291785168e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.16517291785168e-05×40589641000000     		ar = 1450464.63126532m²