Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17010 / 17175
↖ ↑ ↗
← S  8.657057°
E  6.877442°		 ← 1 207.66 m → S  8.657057°
E  6.888427°		 →
↑
1 207.69 m
↓
↑
1 207.69 m
↓
S  8.667918°
E  6.877442°		 ← 1 207.62 m →
1 458 452 m²		 S  8.667918°
E  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519119262695312 y=0.524154663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519119262695312 × 215)
    floor (0.519119262695312 × 32768)
    floor (17010.5)     		tx = 17010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524154663085938 × 215)
    floor (0.524154663085938 × 32768)
    floor (17175.5)     		ty = 17175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17010 / 17175 ti = "15/17010/17175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17010/17175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17010 ÷ 215
    17010 ÷ 32768     		x = 0.51910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17175 ÷ 215
    17175 ÷ 32768     		y = 0.524139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51910400390625 × 2 - 1) × π
    0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.151672350397858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12003400} λ = 0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151672350397858))-π/2
    2×atan(0.859269774022616)-π/2
    2×0.709851089321191-π/2
    1.41970217864238-1.57079632675     		φ = -0.15109415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15109415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.657057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17010 KachelY 17175 0.12003400 -0.15109415 6.877442 -8.657057
    Oben rechts KachelX + 1 17011 KachelY 17175 0.12022574 -0.15109415 6.888427 -8.657057
    Unten links KachelX 17010 KachelY + 1 17176 0.12003400 -0.15128371 6.877442 -8.667918
    Unten rechts KachelX + 1 17011 KachelY + 1 17176 0.12022574 -0.15128371 6.888427 -8.667918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15109415--0.15128371) × R
    0.000189559999999978 × 6371000     		dl = 1207.68675999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15109415--0.15128371) × R
    0.000189559999999978 × 6371000     		dr = 1207.68675999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12003400-0.12022574) × cos(-0.15109415) × R
    0.000191739999999996 × 0.9886069783754 × 6371000     		do = 1207.65810345667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12003400-0.12022574) × cos(-0.15128371) × R
    0.000191739999999996 × 0.988578428060257 × 6371000     		du = 1207.62322709003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15109415)-sin(-0.15128371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9886069783754-0.988578428060257)×R²
    abs(0.12022574-0.12003400)×2.8550315143705e-05×R²
    0.000191739999999996×2.8550315143705e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.8550315143705e-05×40589641000000     		ar = 1458451.6466553m²