Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17010 / 11858
↖ ↑ ↗
← N 44.449468°
E  6.877442°		 ← 872.04 m → N 44.449468°
E  6.888427°		 →
↑
872.13 m
↓
↑
872.13 m
↓
N 44.441624°
E  6.877442°		 ← 872.16 m →
760 584 m²		 N 44.441624°
E  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519119262695312 y=0.361892700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519119262695312 × 215)
    floor (0.519119262695312 × 32768)
    floor (17010.5)     		tx = 17010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361892700195312 × 215)
    floor (0.361892700195312 × 32768)
    floor (11858.5)     		ty = 11858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17010 / 11858 ti = "15/17010/11858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17010/11858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17010 ÷ 215
    17010 ÷ 32768     		x = 0.51910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11858 ÷ 215
    11858 ÷ 32768     		y = 0.36187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51910400390625 × 2 - 1) × π
    0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36187744140625 × 2 - 1) × π
    0.2762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.867849630721497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12003400} λ = 0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.867849630721497))-π/2
    2×atan(2.38178362844371)-π/2
    2×1.17329294301942-π/2
    2.34658588603884-1.57079632675     		φ = 0.77578956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77578956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.449468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17010 KachelY 11858 0.12003400 0.77578956 6.877442 44.449468
    Oben rechts KachelX + 1 17011 KachelY 11858 0.12022574 0.77578956 6.888427 44.449468
    Unten links KachelX 17010 KachelY + 1 11859 0.12003400 0.77565267 6.877442 44.441624
    Unten rechts KachelX + 1 17011 KachelY + 1 11859 0.12022574 0.77565267 6.888427 44.441624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77578956-0.77565267) × R
    0.000136889999999945 × 6371000     		dl = 872.12618999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77578956-0.77565267) × R
    0.000136889999999945 × 6371000     		dr = 872.12618999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12003400-0.12022574) × cos(0.77578956) × R
    0.000191739999999996 × 0.713868343602074 × 6371000     		do = 872.04410732459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12003400-0.12022574) × cos(0.77565267) × R
    0.000191739999999996 × 0.713964198233595 × 6371000     		du = 872.161200997852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77578956)-sin(0.77565267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713868343602074-0.713964198233595)×R²
    abs(0.12022574-0.12003400)×9.58546315213971e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58546315213971e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58546315213971e-05×40589641000000     		ar = 760583.566249926m²