Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1701 / 479
↖ ↑ ↗
← N 79.702906°
W 30.498047°		 ← 1 746.94 m → N 79.702906°
W 30.410156°		 →
↑
1 748.20 m
↓
↑
1 748.20 m
↓
N 79.687184°
W 30.498047°		 ← 1 749.58 m →
3 056 318 m²		 N 79.687184°
W 30.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4154052734375 y=0.1170654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4154052734375 × 212)
    floor (0.4154052734375 × 4096)
    floor (1701.5)     		tx = 1701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1170654296875 × 212)
    floor (0.1170654296875 × 4096)
    floor (479.5)     		ty = 479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1701 / 479 ti = "12/1701/479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1701/479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1701 ÷ 212
    1701 ÷ 4096     		x = 0.415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 479 ÷ 212
    479 ÷ 4096     		y = 0.116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.16943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53229133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116943359375 × 2 - 1) × π
    0.76611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40681585612378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53229133} λ = -0.53229133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40681585612378))-π/2
    2×atan(11.098565393356)-π/2
    2×1.48093723577116-π/2
    2.96187447154232-1.57079632675     		φ = 1.39107814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53229133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.498047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39107814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.702906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1701 KachelY 479 -0.53229133 1.39107814 -30.498047 79.702906
    Oben rechts KachelX + 1 1702 KachelY 479 -0.53075735 1.39107814 -30.410156 79.702906
    Unten links KachelX 1701 KachelY + 1 480 -0.53229133 1.39080374 -30.498047 79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 1702 KachelY + 1 480 -0.53075735 1.39080374 -30.410156 79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39107814-1.39080374) × R
    0.000274400000000119 × 6371000     		dl = 1748.20240000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39107814-1.39080374) × R
    0.000274400000000119 × 6371000     		dr = 1748.20240000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53229133--0.53075735) × cos(1.39107814) × R
    0.00153397999999993 × 0.178752306175962 × 6371000     		do = 1746.94388940166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53229133--0.53075735) × cos(1.39080374) × R
    0.00153397999999993 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 1749.58233982235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39107814)-sin(1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178752306175962-0.179022279985821)×R²
    abs(-0.53075735--0.53229133)×0.000269973809858354×R²
    0.00153397999999993×0.000269973809858354×6371000²
    0.00153397999999993×0.000269973809858354×40589641000000     		ar = 3056317.79196859m²