Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17009 / 18096
↖ ↑ ↗
← S 18.479609°
E  6.866455°		 ← 1 158.65 m → S 18.479609°
E  6.877442°		 →
↑
1 158.63 m
↓
↑
1 158.63 m
↓
S 18.490029°
E  6.866455°		 ← 1 158.58 m →
1 342 403 m²		 S 18.490029°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519088745117188 y=0.552261352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519088745117188 × 215)
    floor (0.519088745117188 × 32768)
    floor (17009.5)     		tx = 17009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552261352539062 × 215)
    floor (0.552261352539062 × 32768)
    floor (18096.5)     		ty = 18096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17009 / 18096 ti = "15/17009/18096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17009/18096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17009 ÷ 215
    17009 ÷ 32768     		x = 0.519073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18096 ÷ 215
    18096 ÷ 32768     		y = 0.55224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519073486328125 × 2 - 1) × π
    0.03814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11984225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55224609375 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.328271888598145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11984225} λ = 0.11984225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328271888598145))-π/2
    2×atan(0.720167187837151)-π/2
    2×0.624133152149083-π/2
    1.24826630429817-1.57079632675     		φ = -0.32253002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11984225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32253002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.479609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17009 KachelY 18096 0.11984225 -0.32253002 6.866455 -18.479609
    Oben rechts KachelX + 1 17010 KachelY 18096 0.12003400 -0.32253002 6.877442 -18.479609
    Unten links KachelX 17009 KachelY + 1 18097 0.11984225 -0.32271188 6.866455 -18.490029
    Unten rechts KachelX + 1 17010 KachelY + 1 18097 0.12003400 -0.32271188 6.877442 -18.490029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32253002--0.32271188) × R
    0.000181860000000034 × 6371000     		dl = 1158.63006000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32253002--0.32271188) × R
    0.000181860000000034 × 6371000     		dr = 1158.63006000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11984225-0.12003400) × cos(-0.32253002) × R
    0.000191750000000004 × 0.948436521214896 × 6371000     		do = 1158.6472804496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11984225-0.12003400) × cos(-0.32271188) × R
    0.000191750000000004 × 0.948378861888034 × 6371000     		du = 1158.57684155278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32253002)-sin(-0.32271188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948436521214896-0.948378861888034)×R²
    abs(0.12003400-0.11984225)×5.76593268615255e-05×R²
    0.000191750000000004×5.76593268615255e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.76593268615255e-05×40589641000000     		ar = 1342402.76545445m²