Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17007 / 17211
↖ ↑ ↗
← S  9.047853°
E  6.844482°		 ← 1 206.44 m → S  9.047853°
E  6.855469°		 →
↑
1 206.41 m
↓
↑
1 206.41 m
↓
S  9.058702°
E  6.844482°		 ← 1 206.40 m →
1 455 441 m²		 S  9.058702°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519027709960938 y=0.525253295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519027709960938 × 215)
    floor (0.519027709960938 × 32768)
    floor (17007.5)     		tx = 17007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525253295898438 × 215)
    floor (0.525253295898438 × 32768)
    floor (17211.5)     		ty = 17211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17007 / 17211 ti = "15/17007/17211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17007/17211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17007 ÷ 215
    17007 ÷ 32768     		x = 0.519012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17211 ÷ 215
    17211 ÷ 32768     		y = 0.525238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519012451171875 × 2 - 1) × π
    0.03802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11945875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.05047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.158575263943146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11945875} λ = 0.11945875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158575263943146))-π/2
    2×atan(0.853358734230623)-π/2
    2×0.706440753552899-π/2
    1.4128815071058-1.57079632675     		φ = -0.15791482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11945875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.844482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15791482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.047853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17007 KachelY 17211 0.11945875 -0.15791482 6.844482 -9.047853
    Oben rechts KachelX + 1 17008 KachelY 17211 0.11965050 -0.15791482 6.855469 -9.047853
    Unten links KachelX 17007 KachelY + 1 17212 0.11945875 -0.15810418 6.844482 -9.058702
    Unten rechts KachelX + 1 17008 KachelY + 1 17212 0.11965050 -0.15810418 6.855469 -9.058702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15791482--0.15810418) × R
    0.00018936 × 6371000     		dl = 1206.41256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15791482--0.15810418) × R
    0.00018936 × 6371000     		dr = 1206.41256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11945875-0.11965050) × cos(-0.15791482) × R
    0.000191750000000004 × 0.987557344053649 × 6371000     		do = 1206.43881312172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11945875-0.11965050) × cos(-0.15810418) × R
    0.000191750000000004 × 0.987527547724382 × 6371000     		du = 1206.40241275638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15791482)-sin(-0.15810418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987557344053649-0.987527547724382)×R²
    abs(0.11965050-0.11945875)×2.97963292666958e-05×R²
    0.000191750000000004×2.97963292666958e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.97963292666958e-05×40589641000000     		ar = 1455440.98444149m²