Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17004 / 17214
↖ ↑ ↗
← S  9.080400°
E  6.811523°		 ← 1 206.33 m → S  9.080400°
E  6.822510°		 →
↑
1 206.29 m
↓
↑
1 206.29 m
↓
S  9.091249°
E  6.811523°		 ← 1 206.29 m →
1 455 155 m²		 S  9.091249°
E  6.822510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518936157226562 y=0.525344848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518936157226562 × 215)
    floor (0.518936157226562 × 32768)
    floor (17004.5)     		tx = 17004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525344848632812 × 215)
    floor (0.525344848632812 × 32768)
    floor (17214.5)     		ty = 17214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17004 / 17214 ti = "15/17004/17214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17004/17214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17004 ÷ 215
    17004 ÷ 32768     		x = 0.5189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17214 ÷ 215
    17214 ÷ 32768     		y = 0.52532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5189208984375 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.159150506738586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11888351} λ = 0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159150506738586))-π/2
    2×atan(0.852867986929788)-π/2
    2×0.706156723791721-π/2
    1.41231344758344-1.57079632675     		φ = -0.15848288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15848288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.080400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17004 KachelY 17214 0.11888351 -0.15848288 6.811523 -9.080400
    Oben rechts KachelX + 1 17005 KachelY 17214 0.11907526 -0.15848288 6.822510 -9.080400
    Unten links KachelX 17004 KachelY + 1 17215 0.11888351 -0.15867222 6.811523 -9.091249
    Unten rechts KachelX + 1 17005 KachelY + 1 17215 0.11907526 -0.15867222 6.822510 -9.091249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15848288--0.15867222) × R
    0.00018934000000001 × 6371000     		dl = 1206.28514000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15848288--0.15867222) × R
    0.00018934000000001 × 6371000     		dr = 1206.28514000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11888351-0.11907526) × cos(-0.15848288) × R
    0.000191750000000004 × 0.987467851993377 × 6371000     		do = 1206.32948610833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11888351-0.11907526) × cos(-0.15867222) × R
    0.000191750000000004 × 0.987437952601259 × 6371000     		du = 1206.29295983737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15848288)-sin(-0.15867222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987467851993377-0.987437952601259)×R²
    abs(0.11907526-0.11888351)×2.98993921180601e-05×R²
    0.000191750000000004×2.98993921180601e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.98993921180601e-05×40589641000000     		ar = 1455155.30683457m²