Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17003 / 17171
↖ ↑ ↗
← S  8.613610°
E  6.800537°		 ← 1 207.86 m → S  8.613610°
E  6.811523°		 →
↑
1 207.81 m
↓
↑
1 207.81 m
↓
S  8.624472°
E  6.800537°		 ← 1 207.83 m →
1 458 850 m²		 S  8.624472°
E  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518905639648438 y=0.524032592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518905639648438 × 215)
    floor (0.518905639648438 × 32768)
    floor (17003.5)     		tx = 17003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524032592773438 × 215)
    floor (0.524032592773438 × 32768)
    floor (17171.5)     		ty = 17171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17003 / 17171 ti = "15/17003/17171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17003/17171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17003 ÷ 215
    17003 ÷ 32768     		x = 0.518890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17171 ÷ 215
    17171 ÷ 32768     		y = 0.524017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518890380859375 × 2 - 1) × π
    0.03778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11869176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.04803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.150905360003937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11869176} λ = 0.11869176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150905360003937))-π/2
    2×atan(0.859929078492854)-π/2
    2×0.710230237198236-π/2
    1.42046047439647-1.57079632675     		φ = -0.15033585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11869176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.800537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15033585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.613610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17003 KachelY 17171 0.11869176 -0.15033585 6.800537 -8.613610
    Oben rechts KachelX + 1 17004 KachelY 17171 0.11888351 -0.15033585 6.811523 -8.613610
    Unten links KachelX 17003 KachelY + 1 17172 0.11869176 -0.15052543 6.800537 -8.624472
    Unten rechts KachelX + 1 17004 KachelY + 1 17172 0.11888351 -0.15052543 6.811523 -8.624472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15033585--0.15052543) × R
    0.000189579999999995 × 6371000     		dl = 1207.81417999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15033585--0.15052543) × R
    0.000189579999999995 × 6371000     		dr = 1207.81417999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11869176-0.11888351) × cos(-0.15033585) × R
    0.000191750000000004 × 0.988720833375868 × 6371000     		do = 1207.8601773447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11869176-0.11888351) × cos(-0.15052543) × R
    0.000191750000000004 × 0.988692422173392 × 6371000     		du = 1207.82546910461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15033585)-sin(-0.15052543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988720833375868-0.988692422173392)×R²
    abs(0.11888351-0.11869176)×2.84112024762084e-05×R²
    0.000191750000000004×2.84112024762084e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.84112024762084e-05×40589641000000     		ar = 1458849.69347128m²