Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17002 / 17232
↖ ↑ ↗
← S  9.275622°
E  6.789551°		 ← 1 205.60 m → S  9.275622°
E  6.800537°		 →
↑
1 205.58 m
↓
↑
1 205.58 m
↓
S  9.286464°
E  6.789551°		 ← 1 205.57 m →
1 453 433 m²		 S  9.286464°
E  6.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518875122070312 y=0.525894165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518875122070312 × 215)
    floor (0.518875122070312 × 32768)
    floor (17002.5)     		tx = 17002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525894165039062 × 215)
    floor (0.525894165039062 × 32768)
    floor (17232.5)     		ty = 17232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17002 / 17232 ti = "15/17002/17232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17002/17232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17002 ÷ 215
    17002 ÷ 32768     		x = 0.51885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17232 ÷ 215
    17232 ÷ 32768     		y = 0.52587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51885986328125 × 2 - 1) × π
    0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.16260196351123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11850002} λ = 0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16260196351123))-π/2
    2×atan(0.849929424018707)-π/2
    2×0.704453089821729-π/2
    1.40890617964346-1.57079632675     		φ = -0.16189015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16189015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.275622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17002 KachelY 17232 0.11850002 -0.16189015 6.789551 -9.275622
    Oben rechts KachelX + 1 17003 KachelY 17232 0.11869176 -0.16189015 6.800537 -9.275622
    Unten links KachelX 17002 KachelY + 1 17233 0.11850002 -0.16207938 6.789551 -9.286464
    Unten rechts KachelX + 1 17003 KachelY + 1 17233 0.11869176 -0.16207938 6.800537 -9.286464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16189015--0.16207938) × R
    0.000189229999999985 × 6371000     		dl = 1205.5843299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16189015--0.16207938) × R
    0.000189229999999985 × 6371000     		dr = 1205.5843299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11850002-0.11869176) × cos(-0.16189015) × R
    0.000191739999999996 × 0.98692438473005 × 6371000     		do = 1205.60268821575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11850002-0.11869176) × cos(-0.16207938) × R
    0.000191739999999996 × 0.98689386622554 × 6371000     		du = 1205.56540755713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16189015)-sin(-0.16207938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98692438473005-0.98689386622554)×R²
    abs(0.11869176-0.11850002)×3.05185045095246e-05×R²
    0.000191739999999996×3.05185045095246e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.05185045095246e-05×40589641000000     		ar = 1453433.24096677m²