Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17000 / 17253
↖ ↑ ↗
← S  9.503244°
E  6.767578°		 ← 1 204.87 m → S  9.503244°
E  6.778565°		 →
↑
1 204.82 m
↓
↑
1 204.82 m
↓
S  9.514079°
E  6.767578°		 ← 1 204.84 m →
1 451 633 m²		 S  9.514079°
E  6.778565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518814086914062 y=0.526535034179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518814086914062 × 215)
    floor (0.518814086914062 × 32768)
    floor (17000.5)     		tx = 17000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526535034179688 × 215)
    floor (0.526535034179688 × 32768)
    floor (17253.5)     		ty = 17253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17000 / 17253 ti = "15/17000/17253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17000/17253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17000 ÷ 215
    17000 ÷ 32768     		x = 0.518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17253 ÷ 215
    17253 ÷ 32768     		y = 0.526519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11811652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.05303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.166628663079315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11811652} λ = 0.11811652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166628663079315))-π/2
    2×atan(0.84651389484407)-π/2
    2×0.702466715738671-π/2
    1.40493343147734-1.57079632675     		φ = -0.16586290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11811652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16586290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.503244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17000 KachelY 17253 0.11811652 -0.16586290 6.767578 -9.503244
    Oben rechts KachelX + 1 17001 KachelY 17253 0.11830827 -0.16586290 6.778565 -9.503244
    Unten links KachelX 17000 KachelY + 1 17254 0.11811652 -0.16605201 6.767578 -9.514079
    Unten rechts KachelX + 1 17001 KachelY + 1 17254 0.11830827 -0.16605201 6.778565 -9.514079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16586290--0.16605201) × R
    0.000189109999999992 × 6371000     		dl = 1204.81980999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16586290--0.16605201) × R
    0.000189109999999992 × 6371000     		dr = 1204.81980999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11811652-0.11830827) × cos(-0.16586290) × R
    0.000191749999999991 × 0.986276254785765 × 6371000     		do = 1204.87378418923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11811652-0.11830827) × cos(-0.16605201) × R
    0.000191749999999991 × 0.986245014436599 × 6371000     		du = 1204.83561975251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16586290)-sin(-0.16605201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986276254785765-0.986245014436599)×R²
    abs(0.11830827-0.11811652)×3.12403491661284e-05×R²
    0.000191749999999991×3.12403491661284e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.12403491661284e-05×40589641000000     		ar = 1451632.81743217m²