Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1700 / 548
↖ ↑ ↗
← N 82.471829°
W105.292969°		 ← 640.20 m → N 82.471829°
W105.249023°		 →
↑
640.41 m
↓
↑
640.41 m
↓
N 82.466069°
W105.292969°		 ← 640.68 m →
410 147 m²		 N 82.466069°
W105.249023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.20758056640625 y=0.06695556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.20758056640625 × 213)
    floor (0.20758056640625 × 8192)
    floor (1700.5)     		tx = 1700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06695556640625 × 213)
    floor (0.06695556640625 × 8192)
    floor (548.5)     		ty = 548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1700 / 548 ti = "13/1700/548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1700/548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1700 ÷ 213
    1700 ÷ 8192     		x = 0.20751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 548 ÷ 213
    548 ÷ 8192     		y = 0.06689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20751953125 × 2 - 1) × π
    -0.5849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.83770898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06689453125 × 2 - 1) × π
    0.8662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.72128191763135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.83770898} λ = -1.83770898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72128191763135))-π/2
    2×atan(15.1997946460298)-π/2
    2×1.50510064023669-π/2
    3.01020128047338-1.57079632675     		φ = 1.43940495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.83770898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43940495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.471829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1700 KachelY 548 -1.83770898 1.43940495 -105.292969 82.471829
    Oben rechts KachelX + 1 1701 KachelY 548 -1.83694199 1.43940495 -105.249023 82.471829
    Unten links KachelX 1700 KachelY + 1 549 -1.83770898 1.43930443 -105.292969 82.466069
    Unten rechts KachelX + 1 1701 KachelY + 1 549 -1.83694199 1.43930443 -105.249023 82.466069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43940495-1.43930443) × R
    0.000100519999999937 × 6371000     		dl = 640.412919999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43940495-1.43930443) × R
    0.000100519999999937 × 6371000     		dr = 640.412919999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.83770898--1.83694199) × cos(1.43940495) × R
    0.000766990000000023 × 0.131013652902914 × 6371000     		do = 640.197335808499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.83770898--1.83694199) × cos(1.43930443) × R
    0.000766990000000023 × 0.131113305815145 × 6371000     		du = 640.684289095443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43940495)-sin(1.43930443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131013652902914-0.131113305815145)×R²
    abs(-1.83694199--1.83770898)×9.96529122305745e-05×R²
    0.000766990000000023×9.96529122305745e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.96529122305745e-05×40589641000000     		ar = 410146.57113546m²