Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1700 / 1582
↖ ↑ ↗
← S 69.534518°
E118.828125°		 ← 6 834.11 m → S 69.534518°
E119.003906°		 →
↑
6 824.30 m
↓
↑
6 824.30 m
↓
S 69.595890°
E118.828125°		 ← 6 814.49 m →
46 571 076 m²		 S 69.595890°
E119.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830322265625 y=0.772705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830322265625 × 211)
    floor (0.830322265625 × 2048)
    floor (1700.5)     		tx = 1700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772705078125 × 211)
    floor (0.772705078125 × 2048)
    floor (1582.5)     		ty = 1582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1700 / 1582 ti = "11/1700/1582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1700/1582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1700 ÷ 211
    1700 ÷ 2048     		x = 0.830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1582 ÷ 211
    1582 ÷ 2048     		y = 0.7724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830078125 × 2 - 1) × π
    0.66015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07394203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07394203} λ = 2.07394203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71192255923145))-π/2
    2×atan(0.18051840146491)-π/2
    2×0.178595025184392-π/2
    0.357190050368785-1.57079632675     		φ = -1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07394203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1700 KachelY 1582 2.07394203 -1.21360628 118.828125 -69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 1701 KachelY 1582 2.07700999 -1.21360628 119.003906 -69.534518
    Unten links KachelX 1700 KachelY + 1 1583 2.07394203 -1.21467743 118.828125 -69.595890
    Unten rechts KachelX + 1 1701 KachelY + 1 1583 2.07700999 -1.21467743 119.003906 -69.595890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21360628--1.21467743) × R
    0.00107115000000002 × 6371000     		dl = 6824.29665000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21360628--1.21467743) × R
    0.00107115000000002 × 6371000     		dr = 6824.29665000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07394203-2.07700999) × cos(-1.21360628) × R
    0.00306796000000009 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 6834.11307878393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07394203-2.07700999) × cos(-1.21467743) × R
    0.00306796000000009 × 0.348639277088577 × 6371000     		du = 6814.49395249534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21360628)-sin(-1.21467743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.348639277088577)×R²
    abs(2.07700999-2.07394203)×0.00100374261890113×R²
    0.00306796000000009×0.00100374261890113×6371000²
    0.00306796000000009×0.00100374261890113×40589641000000     		ar = 46571076.0731792m²