Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 170 / 66
↖ ↑ ↗
← N 82.586106°
W120.234375°		 ← 5 044.28 m → N 82.586106°
W119.882812°		 →
↑
5 059.66 m
↓
↑
5 059.66 m
↓
N 82.540604°
W120.234375°		 ← 5 075.06 m →
25 600 204 m²		 N 82.540604°
W119.882812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16650390625 y=0.06494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16650390625 × 210)
    floor (0.16650390625 × 1024)
    floor (170.5)     		tx = 170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06494140625 × 210)
    floor (0.06494140625 × 1024)
    floor (66.5)     		ty = 66
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 170 / 66 ti = "10/170/66"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/170/66.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 170 ÷ 210
    170 ÷ 1024     		x = 0.166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66 ÷ 210
    66 ÷ 1024     		y = 0.064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166015625 × 2 - 1) × π
    -0.66796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09848572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.064453125 × 2 - 1) × π
    0.87109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.73662172550977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09848572} λ = -2.09848572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73662172550977))-π/2
    2×atan(15.4347540846804)-π/2
    2×1.50609789949907-π/2
    3.01219579899814-1.57079632675     		φ = 1.44139947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09848572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44139947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.586106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 170 KachelY 66 -2.09848572 1.44139947 -120.234375 82.586106
    Oben rechts KachelX + 1 171 KachelY 66 -2.09234979 1.44139947 -119.882812 82.586106
    Unten links KachelX 170 KachelY + 1 67 -2.09848572 1.44060530 -120.234375 82.540604
    Unten rechts KachelX + 1 171 KachelY + 1 67 -2.09234979 1.44060530 -119.882812 82.540604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44139947-1.44060530) × R
    0.000794169999999816 × 6371000     		dl = 5059.65706999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44139947-1.44060530) × R
    0.000794169999999816 × 6371000     		dr = 5059.65706999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09848572--2.09234979) × cos(1.44139947) × R
    0.00613593000000012 × 0.129036065258056 × 6371000     		do = 5044.27915729977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09848572--2.09234979) × cos(1.44060530) × R
    0.00613593000000012 × 0.129823555143786 × 6371000     		du = 5075.06371981123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44139947)-sin(1.44060530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129036065258056-0.129823555143786)×R²
    abs(-2.09234979--2.09848572)×0.000787489885729409×R²
    0.00613593000000012×0.000787489885729409×6371000²
    0.00613593000000012×0.000787489885729409×40589641000000     		ar = 25600203.7114797m²