Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16999 / 17256
↖ ↑ ↗
← S  9.535749°
E  6.756592°		 ← 1 204.76 m → S  9.535749°
E  6.767578°		 →
↑
1 204.69 m
↓
↑
1 204.69 m
↓
S  9.546583°
E  6.756592°		 ← 1 204.72 m →
1 451 341 m²		 S  9.546583°
E  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518783569335938 y=0.526626586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518783569335938 × 215)
    floor (0.518783569335938 × 32768)
    floor (16999.5)     		tx = 16999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526626586914062 × 215)
    floor (0.526626586914062 × 32768)
    floor (17256.5)     		ty = 17256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16999 / 17256 ti = "15/16999/17256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16999/17256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16999 ÷ 215
    16999 ÷ 32768     		x = 0.518768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17256 ÷ 215
    17256 ÷ 32768     		y = 0.526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518768310546875 × 2 - 1) × π
    0.03753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11792477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.05322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.167203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11792477} λ = 0.11792477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167203905874756))-π/2
    2×atan(0.846027083855502)-π/2
    2×0.702183055069214-π/2
    1.40436611013843-1.57079632675     		φ = -0.16643022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11792477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.756592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16643022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.535749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16999 KachelY 17256 0.11792477 -0.16643022 6.756592 -9.535749
    Oben rechts KachelX + 1 17000 KachelY 17256 0.11811652 -0.16643022 6.767578 -9.535749
    Unten links KachelX 16999 KachelY + 1 17257 0.11792477 -0.16661931 6.756592 -9.546583
    Unten rechts KachelX + 1 17000 KachelY + 1 17257 0.11811652 -0.16661931 6.767578 -9.546583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16643022--0.16661931) × R
    0.000189090000000003 × 6371000     		dl = 1204.69239000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16643022--0.16661931) × R
    0.000189090000000003 × 6371000     		dr = 1204.69239000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11792477-0.11811652) × cos(-0.16643022) × R
    0.000191750000000004 × 0.98618242958398 × 6371000     		do = 1204.75916364018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11792477-0.11811652) × cos(-0.16661931) × R
    0.000191750000000004 × 0.98615108674499 × 6371000     		du = 1204.72087399786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16643022)-sin(-0.16661931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98618242958398-0.98615108674499)×R²
    abs(0.11811652-0.11792477)×3.13428389897563e-05×R²
    0.000191750000000004×3.13428389897563e-05×6371000²
    0.000191750000000004×3.13428389897563e-05×40589641000000     		ar = 1451341.13692423m²