Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16998 / 16865
↖ ↑ ↗
← N 78.920304°
W133.313598°		 ← 58.68 m → N 78.920304°
W133.310852°		 →
↑
58.68 m
↓
↑
58.68 m
↓
N 78.919776°
W133.313598°		 ← 58.69 m →
3 443 m²		 N 78.919776°
W133.310852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129688262939453 y=0.128673553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129688262939453 × 217)
    floor (0.129688262939453 × 131072)
    floor (16998.5)     		tx = 16998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128673553466797 × 217)
    floor (0.128673553466797 × 131072)
    floor (16865.5)     		ty = 16865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16998 / 16865 ti = "17/16998/16865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16998/16865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16998 ÷ 217
    16998 ÷ 131072     		x = 0.129684448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16865 ÷ 217
    16865 ÷ 131072     		y = 0.128669738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129684448242188 × 2 - 1) × π
    -0.740631103515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32676123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128669738769531 × 2 - 1) × π
    0.742660522460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.33313684140775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32676123} λ = -2.32676123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33313684140775))-π/2
    2×atan(10.3102324248561)-π/2
    2×1.47410773751295-π/2
    2.94821547502591-1.57079632675     		φ = 1.37741915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32676123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.313598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37741915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.920304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16998 KachelY 16865 -2.32676123 1.37741915 -133.313598 78.920304
    Oben rechts KachelX + 1 16999 KachelY 16865 -2.32671330 1.37741915 -133.310852 78.920304
    Unten links KachelX 16998 KachelY + 1 16866 -2.32676123 1.37740994 -133.313598 78.919776
    Unten rechts KachelX + 1 16999 KachelY + 1 16866 -2.32671330 1.37740994 -133.310852 78.919776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37741915-1.37740994) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dl = 58.6769099998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37741915-1.37740994) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dr = 58.6769099998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32676123--2.32671330) × cos(1.37741915) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.192174213590391 × 6371000     		do = 58.6827079751076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32676123--2.32671330) × cos(1.37740994) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.192183251915452 × 6371000     		du = 58.6854679363959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37741915)-sin(1.37740994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192174213590391-0.192183251915452)×R²
    abs(-2.32671330--2.32676123)×9.03832506068958e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.03832506068958e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.03832506068958e-06×40589641000000     		ar = 3443.40094742625m²