Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16997 / 11999
↖ ↑ ↗
← N 43.333169°
E  6.734619°		 ← 888.59 m → N 43.333169°
E  6.745606°		 →
↑
888.63 m
↓
↑
888.63 m
↓
N 43.325178°
E  6.734619°		 ← 888.71 m →
789 678 m²		 N 43.325178°
E  6.745606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518722534179688 y=0.366195678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518722534179688 × 215)
    floor (0.518722534179688 × 32768)
    floor (16997.5)     		tx = 16997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366195678710938 × 215)
    floor (0.366195678710938 × 32768)
    floor (11999.5)     		ty = 11999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16997 / 11999 ti = "15/16997/11999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16997/11999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16997 ÷ 215
    16997 ÷ 32768     		x = 0.518707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11999 ÷ 215
    11999 ÷ 32768     		y = 0.366180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518707275390625 × 2 - 1) × π
    0.03741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11754128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366180419921875 × 2 - 1) × π
    0.26763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.840813219335785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11754128} λ = 0.11754128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840813219335785))-π/2
    2×atan(2.31825145733954)-π/2
    2×1.16355140400326-π/2
    2.32710280800651-1.57079632675     		φ = 0.75630648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11754128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.734619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75630648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.333169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16997 KachelY 11999 0.11754128 0.75630648 6.734619 43.333169
    Oben rechts KachelX + 1 16998 KachelY 11999 0.11773303 0.75630648 6.745606 43.333169
    Unten links KachelX 16997 KachelY + 1 12000 0.11754128 0.75616700 6.734619 43.325178
    Unten rechts KachelX + 1 16998 KachelY + 1 12000 0.11773303 0.75616700 6.745606 43.325178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75630648-0.75616700) × R
    0.00013947999999997 × 6371000     		dl = 888.627079999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75630648-0.75616700) × R
    0.00013947999999997 × 6371000     		dr = 888.627079999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11754128-0.11773303) × cos(0.75630648) × R
    0.000191750000000004 × 0.727375605957945 × 6371000     		do = 888.590589730781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11754128-0.11773303) × cos(0.75616700) × R
    0.000191750000000004 × 0.727471315575443 × 6371000     		du = 888.707512356118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75630648)-sin(0.75616700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727375605957945-0.727471315575443)×R²
    abs(0.11773303-0.11754128)×9.5709617497497e-05×R²
    0.000191750000000004×9.5709617497497e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.5709617497497e-05×40589641000000     		ar = 789677.612653303m²