Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16996 / 12001
↖ ↑ ↗
← N 43.317185°
E  6.723633°		 ← 888.82 m → N 43.317185°
E  6.734619°		 →
↑
888.88 m
↓
↑
888.88 m
↓
N 43.309191°
E  6.723633°		 ← 888.94 m →
790 112 m²		 N 43.309191°
E  6.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518692016601562 y=0.366256713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518692016601562 × 215)
    floor (0.518692016601562 × 32768)
    floor (16996.5)     		tx = 16996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366256713867188 × 215)
    floor (0.366256713867188 × 32768)
    floor (12001.5)     		ty = 12001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16996 / 12001 ti = "15/16996/12001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16996/12001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16996 ÷ 215
    16996 ÷ 32768     		x = 0.5186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12001 ÷ 215
    12001 ÷ 32768     		y = 0.366241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366241455078125 × 2 - 1) × π
    0.26751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.840429724138824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11734953} λ = 0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840429724138824))-π/2
    2×atan(2.31736258948948)-π/2
    2×1.16341191312552-π/2
    2.32682382625103-1.57079632675     		φ = 0.75602750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75602750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.317185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16996 KachelY 12001 0.11734953 0.75602750 6.723633 43.317185
    Oben rechts KachelX + 1 16997 KachelY 12001 0.11754128 0.75602750 6.734619 43.317185
    Unten links KachelX 16996 KachelY + 1 12002 0.11734953 0.75588798 6.723633 43.309191
    Unten rechts KachelX + 1 16997 KachelY + 1 12002 0.11754128 0.75588798 6.734619 43.309191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75602750-0.75588798) × R
    0.000139519999999949 × 6371000     		dl = 888.881919999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75602750-0.75588798) × R
    0.000139519999999949 × 6371000     		dr = 888.881919999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11734953-0.11754128) × cos(0.75602750) × R
    0.000191750000000004 × 0.727567024760958 × 6371000     		do = 888.824434453729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11734953-0.11754128) × cos(0.75588798) × R
    0.000191750000000004 × 0.727662733506539 × 6371000     		du = 888.941356013898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75602750)-sin(0.75588798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727567024760958-0.727662733506539)×R²
    abs(0.11754128-0.11734953)×9.57087455807359e-05×R²
    0.000191750000000004×9.57087455807359e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.57087455807359e-05×40589641000000     		ar = 790111.935851628m²