Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16994 / 11996
↖ ↑ ↗
← N 43.357138°
E  6.701660°		 ← 888.19 m → N 43.357138°
E  6.712646°		 →
↑
888.31 m
↓
↑
888.31 m
↓
N 43.349150°
E  6.701660°		 ← 888.31 m →
789 042 m²		 N 43.349150°
E  6.712646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518630981445312 y=0.366104125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518630981445312 × 215)
    floor (0.518630981445312 × 32768)
    floor (16994.5)     		tx = 16994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366104125976562 × 215)
    floor (0.366104125976562 × 32768)
    floor (11996.5)     		ty = 11996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16994 / 11996 ti = "15/16994/11996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16994/11996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16994 ÷ 215
    16994 ÷ 32768     		x = 0.51861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11996 ÷ 215
    11996 ÷ 32768     		y = 0.3660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51861572265625 × 2 - 1) × π
    0.0372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11696604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3660888671875 × 2 - 1) × π
    0.267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.841388462131226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11696604} λ = 0.11696604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841388462131226))-π/2
    2×atan(2.31958539842161)-π/2
    2×1.16376057149776-π/2
    2.32752114299552-1.57079632675     		φ = 0.75672482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11696604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75672482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.357138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16994 KachelY 11996 0.11696604 0.75672482 6.701660 43.357138
    Oben rechts KachelX + 1 16995 KachelY 11996 0.11715778 0.75672482 6.712646 43.357138
    Unten links KachelX 16994 KachelY + 1 11997 0.11696604 0.75658539 6.701660 43.349150
    Unten rechts KachelX + 1 16995 KachelY + 1 11997 0.11715778 0.75658539 6.712646 43.349150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75672482-0.75658539) × R
    0.00013942999999994 × 6371000     		dl = 888.308529999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75672482-0.75658539) × R
    0.00013942999999994 × 6371000     		dr = 888.308529999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11696604-0.11715778) × cos(0.75672482) × R
    0.00019174000000001 × 0.727088460862169 × 6371000     		do = 888.193479205518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11696604-0.11715778) × cos(0.75658539) × R
    0.00019174000000001 × 0.727184178594376 × 6371000     		du = 888.310405645926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75672482)-sin(0.75658539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727088460862169-0.727184178594376)×R²
    abs(0.11715778-0.11696604)×9.57177322069569e-05×R²
    0.00019174000000001×9.57177322069569e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.57177322069569e-05×40589641000000     		ar = 789041.778524242m²