Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16993 / 17173
↖ ↑ ↗
← S  8.635334°
E  6.690674°		 ← 1 207.79 m → S  8.635334°
E  6.701660°		 →
↑
1 207.75 m
↓
↑
1 207.75 m
↓
S  8.646196°
E  6.690674°		 ← 1 207.76 m →
1 458 689 m²		 S  8.646196°
E  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518600463867188 y=0.524093627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518600463867188 × 215)
    floor (0.518600463867188 × 32768)
    floor (16993.5)     		tx = 16993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524093627929688 × 215)
    floor (0.524093627929688 × 32768)
    floor (17173.5)     		ty = 17173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16993 / 17173 ti = "15/16993/17173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16993/17173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16993 ÷ 215
    16993 ÷ 32768     		x = 0.518585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17173 ÷ 215
    17173 ÷ 32768     		y = 0.524078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518585205078125 × 2 - 1) × π
    0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.151288855200897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11677429} λ = 0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151288855200897))-π/2
    2×atan(0.859599363047711)-π/2
    2×0.710040657801888-π/2
    1.42008131560378-1.57079632675     		φ = -0.15071501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15071501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.635334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16993 KachelY 17173 0.11677429 -0.15071501 6.690674 -8.635334
    Oben rechts KachelX + 1 16994 KachelY 17173 0.11696604 -0.15071501 6.701660 -8.635334
    Unten links KachelX 16993 KachelY + 1 17174 0.11677429 -0.15090458 6.690674 -8.646196
    Unten rechts KachelX + 1 16994 KachelY + 1 17174 0.11696604 -0.15090458 6.701660 -8.646196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15071501--0.15090458) × R
    0.00018957 × 6371000     		dl = 1207.75047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15071501--0.15090458) × R
    0.00018957 × 6371000     		dr = 1207.75047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11677429-0.11696604) × cos(-0.15071501) × R
    0.000191749999999991 × 0.98866397543674 × 6371000     		do = 1207.7907174545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11677429-0.11696604) × cos(-0.15090458) × R
    0.000191749999999991 × 0.988635494670261 × 6371000     		du = 1207.7559242323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15071501)-sin(-0.15090458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98866397543674-0.988635494670261)×R²
    abs(0.11696604-0.11677429)×2.84807664795439e-05×R²
    0.000191749999999991×2.84807664795439e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.84807664795439e-05×40589641000000     		ar = 1458688.80027041m²