Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16993 / 10719
↖ ↑ ↗
← N 76.228215°
W 86.654663°		 ← 145.40 m → N 76.228215°
W 86.649170°		 →
↑
145.45 m
↓
↑
145.45 m
↓
N 76.226907°
W 86.654663°		 ← 145.41 m →
21 150 m²		 N 76.226907°
W 86.649170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259300231933594 y=0.163566589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259300231933594 × 216)
    floor (0.259300231933594 × 65536)
    floor (16993.5)     		tx = 16993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163566589355469 × 216)
    floor (0.163566589355469 × 65536)
    floor (10719.5)     		ty = 10719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16993 / 10719 ti = "16/16993/10719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16993/10719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16993 ÷ 216
    16993 ÷ 65536     		x = 0.259292602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10719 ÷ 216
    10719 ÷ 65536     		y = 0.163558959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259292602539062 × 2 - 1) × π
    -0.481414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.51240918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163558959960938 × 2 - 1) × π
    0.672882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11392139944524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51240918} λ = -1.51240918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11392139944524))-π/2
    2×atan(8.28064943454559)-π/2
    2×1.45061483197694-π/2
    2.90122966395387-1.57079632675     		φ = 1.33043334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51240918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.654663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33043334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.228215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16993 KachelY 10719 -1.51240918 1.33043334 -86.654663 76.228215
    Oben rechts KachelX + 1 16994 KachelY 10719 -1.51231331 1.33043334 -86.649170 76.228215
    Unten links KachelX 16993 KachelY + 1 10720 -1.51240918 1.33041051 -86.654663 76.226907
    Unten rechts KachelX + 1 16994 KachelY + 1 10720 -1.51231331 1.33041051 -86.649170 76.226907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33043334-1.33041051) × R
    2.28299999998072e-05 × 6371000     		dl = 145.449929998771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33043334-1.33041051) × R
    2.28299999998072e-05 × 6371000     		dr = 145.449929998771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51240918--1.51231331) × cos(1.33043334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238055193617866 × 6371000     		do = 145.401200846771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51240918--1.51231331) × cos(1.33041051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238077367230491 × 6371000     		du = 145.41474421818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33043334)-sin(1.33041051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238055193617866-0.238077367230491)×R²
    abs(-1.51231331--1.51240918)×2.21736126256866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21736126256866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21736126256866e-05×40589641000000     		ar = 21149.579427092m²