Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16992 / 14936
↖ ↑ ↗
← N 79.893594°
W133.330078°		 ← 53.60 m → N 79.893594°
W133.327332°		 →
↑
53.58 m
↓
↑
53.58 m
↓
N 79.893112°
W133.330078°		 ← 53.60 m →
2 872 m²		 N 79.893112°
W133.327332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129642486572266 y=0.113956451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129642486572266 × 217)
    floor (0.129642486572266 × 131072)
    floor (16992.5)     		tx = 16992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113956451416016 × 217)
    floor (0.113956451416016 × 131072)
    floor (14936.5)     		ty = 14936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16992 / 14936 ti = "17/16992/14936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16992/14936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16992 ÷ 217
    16992 ÷ 131072     		x = 0.129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14936 ÷ 217
    14936 ÷ 131072     		y = 0.11395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.74072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32704886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11395263671875 × 2 - 1) × π
    0.7720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42560712077484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32704886} λ = -2.32704886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42560712077484))-π/2
    2×atan(11.3090933209599)-π/2
    2×1.48260129309973-π/2
    2.96520258619947-1.57079632675     		φ = 1.39440626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32704886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39440626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.893594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16992 KachelY 14936 -2.32704886 1.39440626 -133.330078 79.893594
    Oben rechts KachelX + 1 16993 KachelY 14936 -2.32700092 1.39440626 -133.327332 79.893594
    Unten links KachelX 16992 KachelY + 1 14937 -2.32704886 1.39439785 -133.330078 79.893112
    Unten rechts KachelX + 1 16993 KachelY + 1 14937 -2.32700092 1.39439785 -133.327332 79.893112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39440626-1.39439785) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dl = 53.5801099997371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39440626-1.39439785) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dr = 53.5801099997371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32704886--2.32700092) × cos(1.39440626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175476804603246 × 6371000     		do = 53.5951328987467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32704886--2.32700092) × cos(1.39439785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175485084103828 × 6371000     		du = 53.5976616713387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39440626)-sin(1.39439785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175476804603246-0.175485084103828)×R²
    abs(-2.32700092--2.32704886)×8.27950058146509e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.27950058146509e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.27950058146509e-06×40589641000000     		ar = 2871.7008620472m²