Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16991 / 49633
↖ ↑ ↗
← N 39.975016°
W133.332825°		 ← 234.01 m → N 39.975016°
W133.330078°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
N 39.972911°
W133.332825°		 ← 234.01 m →
54 775 m²		 N 39.972911°
W133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129634857177734 y=0.378673553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129634857177734 × 217)
    floor (0.129634857177734 × 131072)
    floor (16991.5)     		tx = 16991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378673553466797 × 217)
    floor (0.378673553466797 × 131072)
    floor (49633.5)     		ty = 49633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16991 / 49633 ti = "17/16991/49633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16991/49633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16991 ÷ 217
    16991 ÷ 131072     		x = 0.129631042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49633 ÷ 217
    49633 ÷ 131072     		y = 0.378669738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129631042480469 × 2 - 1) × π
    -0.740737915039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.32709679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378669738769531 × 2 - 1) × π
    0.242660522460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.762340514657753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32709679} λ = -2.32709679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762340514657753))-π/2
    2×atan(2.1432867486532)-π/2
    2×1.1342459816491-π/2
    2.26849196329821-1.57079632675     		φ = 0.69769564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32709679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.332825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69769564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.975016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16991 KachelY 49633 -2.32709679 0.69769564 -133.332825 39.975016
    Oben rechts KachelX + 1 16992 KachelY 49633 -2.32704886 0.69769564 -133.330078 39.975016
    Unten links KachelX 16991 KachelY + 1 49634 -2.32709679 0.69765890 -133.332825 39.972911
    Unten rechts KachelX + 1 16992 KachelY + 1 49634 -2.32704886 0.69765890 -133.330078 39.972911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69769564-0.69765890) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dl = 234.07053999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69769564-0.69765890) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dr = 234.07053999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32709679--2.32704886) × cos(0.69769564) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766324664756649 × 6371000     		do = 234.006455269303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32709679--2.32704886) × cos(0.69765890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766348267981274 × 6371000     		du = 234.013662797889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69769564)-sin(0.69765890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766324664756649-0.766348267981274)×R²
    abs(-2.32704886--2.32709679)×2.3603224625246e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3603224625246e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3603224625246e-05×40589641000000     		ar = 54774.860889599m²